Akar Pertepatan Non-Linier

Persamaan non-linier bisa diartikan seumpama paralelisme yang tak mengandung syarat sama dengan persamaan linier, sehingga pertepatan non-linier dapat merupakan:

  1. Persamaan yang memiliki jenjang selain satu (bagaikan:
    \(x^2\))
  2. Pertepatan yang mempunyai produk dua variabel (bagaikan:
    \(xy\))

Dalam penuntasan persamaan non-linier diperlukan akar-akar persamaan non-linier, dimana akar susu sebuah persamaan non-linier
\(f\left(x\right)=0\)
yakni nilai
\(x\)
nan menyebabkan angka
\(f\left(x\right)\)
sama dengan nol. Intern hal ini dapat disimpulkan bahwa akar tunjang-akar susu penyelesaian pertepatan non-linier merupakan tutul bacok antara kurva
\(f\left(x\right)\)
dengan murang
\(x\). Ilustrasi penjelasan tersebut ditampilkan pada Gambar 7.1.


Penyelesaian persamaan non-linier.

Gambar 7.1: Penyelesaian persamaan non-linier.

Ideal sederhana dari penentuan akar persamaan non-linier yaitu penentuan akar paralelisme kuadratik. Secara analitik penentuan akar susu paralelisme kuadratik dapat dilakukan menggunakan Kemiripan (7.1).

\[\begin{equation} x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4a}}{2a} \tag{7.1} \end{equation}\]

Untuk masalah yang lebih sulit, penyelesaian analitik sudah lain mungkin dilakukan. Metode numerik dapat digunakan bikin menyelesaikan masalah yang lebih mania. Untuk mengetahui apakah suatu paralelisme non-linier memiliki akar-akar perampungan atau tidak, diperlukan analisa menggunakan Teorema berikut:


Teorema 7.1 (root)

Suatu range x=[a,b] mempunyai akar tunjang bila f(a) dan f(b) berlawanan etiket atau memenuhi f(a).f(b)<0

Untuk memaklumi teorema tersebut perhatikan ilustrasi pada Gambar 7.2.


Ilustrasi teorema Bolzano.

Gambar 7.2: Ilustrasi teorema Bolzano.

Plong Chapter 7 ini, akan dilakukan sejumlah pembahasan antara tak:

  • penentuan akar susu pertepatan dengan metode terkatup
  • penentuan akar kemiripan dengan metode membengang
  • faedah-fungsi
    R
    untuk mementukan akar tunjang persamaan non-linier
  • studi kasus

Metode Terkatup

Metode tertutup disebut juga metode
bracketing. Disebut andai metode tertutup karena dalam pengudakan akar-akar tunggang persamaan non-linier dilakukan kerumahtanggaan suatu petuah
\(\left[a,b \right]\).

Metode Diagram

Penyelesaian persamaan non-linier menggunakan metode tabulasi dilakukan dengan memberi persamaan menjadi beberapa area, dimana untuk
\(x=\left[a,b \right]\)
dibagi sebanyak
\(N\)
bagian dan sreg saban putaran dihitung nilai
\(f\left(x \right)\)
sehingga diperoleh nilai
\(f\left(x \right)\)
puas setian
\(N\)
putaran.

Bila biji
\(f\left(x_k \right)=0\)
atau mendekati nol, dimana
\(a \le k \le b\), maka dikatakan bahwa
\(x_k\)
adalah penyelesaian persamaan
\(f\left(x \right)\). Bila tidak ditemukan, dicari nilai
\(f\left(x_k \right)\)
dan
\(f\left(x_{k+1} \right)\)
nan berlawanan tanda. Bila tak ditemukan, maka paralelisme tersebut dapat dikatakan enggak n kepunyaan akar untuk rentang
\(\left[a,b \right]\).

Bila akar persamaan lain ditemukan, maka ada dua kemungkinan untuk menentukan akar susu persamaan, ialah:

  1. Akar persamaan ditentukan maka dari itu kredit mana yang lebih hampir. Bila
    \(f\left(x_k\right)\le f\left(x_{k+1}\right)\), maka akarnya
    \(x_k\). Bila
    \(f\left(x_{k+1}\right)\le f\left(x_{k}\right)\), maka akarnya
    \(x_{k+1}\).
  2. Wajib dicari lagi menunggangi rentang
    \(x=\left[x_{k}, x_{k+1} \right]\).

Secara grafis penyelesaian persamaan non-linier menggunakan metode table disajikan lega Gambar 7.3.


Ilustrasi metode tabel.

Gambar 7.3: Ilustrasi metode tabel.


Algoritma Metode Tabel

  1. Definisikan fungsi
    \(f\left(x \right)\)
  2. Tentukan juluran bikin
    \(x\)
    yang maujud batas bawah
    \(a\)
    dan sempadan atas
    \(b\).
  3. Tentukan total pembagi
    \(N\)
  4. Hitung step pembagi

\[\begin{equation} h=\frac{b+a}{N} \tag{7.2} \end{equation}\]

  1. Untuk
    \(i=0\)
    s/d
    \(N\), hitung:

\[\begin{equation} x_i=a+i.h \tag{7.3} \end{equation}\]

\[\begin{equation} y_i=f\left(x_i \right) \tag{7.4} \end{equation}\]

  1. Lakukan
    \(i=0\)
    s/d
    \(N\), dimana
  • Bila
    \(f\left(x \right)=0\), maka akarnya
    \(x_k\)
  • Bila
    \(f\left(a \right) f\left(b \right) <0\), maka:

    • \(f\left(x_k\right)\le f\left(x_{k+1}\right)\), maka akarnya
      \(x_k\)
    • Bila tida,
      \(x_{k+1}\)
      adalah perampungan atau bisa dikatakan penyelesaian berlambak diantara
      \(x_k\)
      dan
      \(x_{k+1}\).

Kita boleh membuat suatu fungsi pada
R
untuk melakukan proses kelewahan pada metode Tabel. Fungsi
root_table()
akan berbuat tautologi berdasarkan step algoritma 1 sampai 5. Berikut adalah sintaks yang digunakan:


Contoh 7.1

Carilah akar pertepatan
\(f\left(x \right)=x+e^{x}\)
pada rentang
\(x=\left[-1,0 \right]\)?

Jawab:

Perumpamaan permulaan, total pembagi yang digunakan yakni
\(N=10\). Dengan menggunakan kekuatan
root_table()
diperoleh hasil yang disajikan pada Tabel 7.1.

Tabel 7.1:
Penyelesaian persamaan x+exp(x)=0
x fx
-1.0 -0.6321
-0.9 -0.4934
-0.8 -0.3507
-0.7 -0.2034
-0.6 -0.0512
-0.5 0.1065
-0.4 0.2703
-0.3 0.4408
-0.2 0.6187
-0.1 0.8048
0.0 1.0000

Berdasarkan Tabel 7.1 diperoleh perampungan di antara
\(-0,6\)
dan
\(-0,5\)
dengan nilai
\(f\left(x \right)\)
per sebesar
\(-0,0512\)
dan
\(-0,1065\), sehingga dapat diambil penyelesaian
\(x=-0,6\). Kita bisa terus melakukan iterasi hingga memperoleh poin
\(f\left(x \right)\)
< nilai toleransi dengan terus merubah juluran nan diberikan. Tautologi berikutnya dengan nilai pembagi sama dan juluran nilai
\(x=\left[-0,6;-0,5\right]\)
diperoleh nilai
\(x=-0,57\)
dan
\(f\left(x \right)=0,00447\).

Kerjakan melihat gambaran lokasi akar tunggang, kita dapat pulang mengeplotkan data menggunakan kepentingan plot. Berikut merupakan faedah yang digunakan:


Plot fungsi x+exp(x) pada rentang -1 sampai 0.

Buram 7.4: Plot fungsi x+exp(x) puas rentang -1 sampai 0.

Untuk mengetahui lokasi akar tunjang dengan kian jelas, kita dapat memperkecil juga uluran nilai yang dimasukkan dalam kekuatan
curve().

Metode tabulasi pada dasarnya memiliki kelemahan yaitu cukup musykil bikin memdapatkan error perampungan yang patut kerdil, sehingga metode ini jarang sekali digunakan untuk menguasai persamaan non-linier. Sahaja, metode ini pas baik digunakan dalam menentukan negeri penyelesaian sehingga dapat dijadikan konseptual metode lain yang bertambah baik.

Metode Biseksi

Prinsip metode bagi dua adalah mengurung akar kemujaraban pada pause
\(x=\left[a,b \right]\)
atau plong skor
\(x\)
perenggan bawah
\(a\)
dan batas atas
\(b\). Seterusnya interval tersebut terus menerus dibagi 2 hingga sekecil siapa, sehingga angka dekatan yang dicari dapat ditentukan dengan tingkat ketahanan tertentu. Kerjakan lebih mencerna metode biseksi, perhatikan visualisasi pada Gambar 7.5.


Ilustrasi metode biseksi.

Rajah 7.5: Ilustrasi metode biseksi.

Metode biseksi yakni metode yang paling mudah dan minimal terbelakang dibanding metode lainnya. Akan halnya sifat metode ini antara lain:

  1. Konvergensi lambat
  2. Caranya mudah
  3. Tidak dapat digunakan cak bagi mencari akar imaginer
  4. Sahaja dapat mencari satu akar tunggang plong satu siklus.

Algoritma Metode Biseksi

  1. Definisikan fungsi
    \(f\left(x \right)\)
  2. Tentukan rentang kerjakan
    \(x\)
    yang berupa batas bawah
    \(a\)
    dan batas atas
    \(b\).
  3. Tentukan nilai keluasan pikiran
    \(e\)
    dan iterasi maksimum
    \(N\)
  4. Hitung
    \(f\left(a \right)\)
    dan
    \(f\left(b \right)\)
  5. Hitung:

\[\begin{equation} x=\frac{a+b}{2} \tag{7.5} \end{equation}\]

  1. Hitung
    \(f\left(x \right)\)
  2. Bila
    \(f\left(x \right).f\left(a \right)<0\), maka
    \(b=x\)
    dan
    \(f\left(b \right)=f\left(x \right)\). Bila tidak,
    \(a=x\)
    dan
    \(f\left(a \right)=f\left(x \right)\)
  3. Bila
    \(\left|b-a \right|<e\)
    atau tautologi maksimum maka proses dihentikan dan didapatkan akar=\(x\), dan bila tak ulangi langkah 6.
  4. Jikalau sudah diperoleh nilai dibawah nilai ketabahan, biji akar selanjutnya dihitung berdasarkan Persamaan (7.5) dengan nilai
    \(a\)
    dan
    \(b\)
    merupakan ponten baru yang diperoleh dari proses perulangan.

Berlandaskan algoritma tersebut, kita dapat menyusun suatu fungsi puas
R
yang dapat digunakan cak bagi berbuat iterasi tersebut. Kemustajaban
root_bisection()
merupakan fungsi yang sudah penulis susun kerjakan berbuat tautologi menunggangi metode biseksi. Berikut adalah sintaks berpangkal keefektifan tersebut:


Arketipe 7.2

Carilah akar paralelisme
\(f\left(x \right)=xe^{-x}+1\)
pada rentang
\(x=\left[-1,0 \right]\)
dengan poin ketenangan sebesar
\(10^-7\)?

Jawab:

Persiapan pertama dalam pembilangan ialah menghitung nilai
\(x\)
menggunakan Paralelisme (7.5).

\[ x=\frac{-1+0}{2}=-0,5 \]

Hitung angka
\(f\left(x \right)\)
dan
\(f\left(a \right)\).

\[ f\left(x \right)=-0,5.e^{0,5}+1=0,175639 \]

\[ f\left(a \right)=-1.e^{1}+1=-1,71828 \]

Berdasarkan hasil perhitungan diperoleh:

\[ f\left(x \right).f\left(a \right)<0 \]

Sehingga
\(b=x\)
dan
\(f\left(b \right)=f\left(x \right)\). Iterasi dilakukan kembali dengan menunggangi nilai
\(b\)
tersebut.

Untuk mempersingkat waktu repetisi kita akan menggunakan maslahat
root_bisection()
plong
R. Berikut adalah sintaks yang digunakan:

            ## $`function` ## function (x)  ## { ##     x * exp(-x) + 1 ## } ## <bytecode: 0x000000001d62cab0> ##  ## $root ## [1] -0.5671 ##  ## $iter ## [1] 24
          

Berlandaskan hasil tautologi diperoleh akar tunjang pertepatan
\(x=-2.980232e-08\)
dan repetisi yang diperlukan untuk memperolehnya sebanyak
\(24\)
kemubaziran.

Metode Regula Falsi

Metode regula falsi merupakan metode yang menyerupai metode biseksi, dimana iterasi dilakukan dengan terus berbuat renovasi rentang lakukan memperoleh akar persamaan. Hal yang membedakan metode ini dengan metode biseksi adalah pencarian akar didasarkan pada slope (kemiringan) dan selisih tangga berpangkal kedua titik juluran. Titik pendekatan lega metode regula-falsi disajikan pada Kemiripan (7.6).

\[\begin{equation} x=\frac{f\left(b\right).a-f\left(a\right).b}{f\left(b\right)-f\left(a\right)} \tag{7.6} \end{equation}\]

Ilustrasi bermula metode regula falsi disajikan lega Gambar 7.6.


Ilustrasi metode regula falsi.

Gambar 7.6: Ilustrasi metode regula falsi.


Algoritma Metode Regula Falsi

  1. Definisikan fungsi
    \(f\left(x \right)\)
  2. Tentukan rentang untuk
    \(x\)
    yang berupa batas bawah
    \(a\)
    dan batas atas
    \(b\).
  3. Tentukan angka ketenangan
    \(e\)
    dan iterasi maksimum
    \(T\)
  4. Hitung
    \(f\left(a \right)\)
    dan
    \(f\left(b \right)\)
  5. Bikin kelewahan
    \(i=1\)
    s/d
    \(N\)
  • Hitung nilai
    \(x\)
    berdasarkan Persamaan (7.6)
  • Hitung
    \(f\left(x \right)\)
  • Hitung
    \(error=\left|f\left(x \right) \right|\)
  • Jika
    \(f\left(x \right).f\left(a \right)<0\), maka
    \(b=x\)
    dan
    \(f\left(b \right)=f\left(x \right)\). Jika tidak,
    \(a=x\)
    dan
    \(f\left(a \right)=f\left(x \right)\).
  1. Akar kemiripan adalah
    \(x\)

Fungsi
root_rf()
didasarkan plong anju-langkah di atas. Sintaks kekuatan tersebut adalah sebagai berikut:


Abstrak 7.3

Selesaikan persamaan non-linier pada Konseptual 7.2 menggunakan metode regula falsi puas rentang
\(x=\left[-1,0 \right]\)
dengan nilai toleransi sebesar
\(10^-7\)?

Jawab:

Langkah permulaan penyelesaian dilakukan dengan mencari skor
\(f\left(a \right)\)
dan
\(f\left(b \right)\).

\[ f\left(a \right)=-1.e^{1}+1=-1,71828 \]
\[ f\left(b \right)=0.e^{0}+1=1 \]
Hitung nilai
\(x\)
dan
\(f\left(x \right)\).

\[ x=\frac{\left(1.-1\right)-\left(-1,71828.0\right)}{1+1,71828}=-0.36788 \]

\[ f\left(x \right)=-0.36788.e^{0.36788}+1=0.468536 \]

Bersendikan hasil estimasi diperoleh:

\[ f\left(x \right).f\left(a \right)<0 \]

Sehingga
\(b=x\)
dan
\(f\left(b \right)=f\left(x \right)\). Tautologi dilakukan kembali dengan menunggangi angka
\(b\)
tersebut.

Bakal mendahulukan proses iterasi, kita dapat pula menggunakan khasiat
root_rf()
lega
R. Berikut yakni sintaks nan digunakan:

            ## $`function` ## function (x)  ## { ##     x * exp(-x) + 1 ## } ## <bytecode: 0x000000001c7931a8> ##  ## $root ## [1] -0.5671 ##  ## $iter ## [1] 15
          

Berdasarkan hasil perhitungan diperoleh angka
\(x=-0,5671433\)
dan total iterasi yang diperlukan ialah
\(15\). Jumlah ini lebih sedikit berpokok kuantitas iterasi yang diperlukan pada metode iterasi biseksi yang juga menunjukkan metode ini lebih cepat memperoleh persamaan dibandingkan metode biseksi.

Metode Terbuka

Metode membengang ialah metode yang menunggangi satu atau dua teka-teki awal yang tak memerlukan rentang sejumlah nilai. Metode terbuka terdiri semenjak beberapa variasi merupakan metode iterasi titik tetap, metode Newton-Raphson, dan metode Secant.

Metode Iterasi Titik Tetap

Metode iterasi titik tetap merupakan metode penyelesaian persamaan non-linier dengan cara menyelesaikan setiap laur
\(x\)
yang cak semau dalam satu kemiripan dengan sebagian nan lain sehingga diperoleh
\(x=g\left(x \right)\)
lakukan tiap-tiap variabel
\(x\). Sebagai transendental, untuk menyelesaikan persamaan
\(x+e^{x}=0\), maka persamaan tersebut perlu diubah menjadi
\(x=e^x\)
atau
\(g\left(x \right)=e^x\). Secara grafis metode ini diilustrasikan seperti Gambar 7.7.


Ilustrasi metode iterasi titik tetap.

Gambar 7.7: Ilustrasi metode tautologi titik tegar.


Algoritma Metode Iterasi Bintik Konsisten

  1. Definisikan
    \(f\left(x \right)\)
    dan
    \(g\left(x \right)\)
  2. Tentukan kredit toleransi
    \(e\)
    dan kelewahan masimum (N)
  3. Tentukan tebakan awal
    \(x_0\)
  4. Buat iterasi
    \(i=1\)
    s/d
    \(N\)
    atau
    \(f\left(x_iterasi \right)\ge e \to x_i=g\left(x_{i-1} \right)\), Hitung
    \(f\left(x_i \right)\)
  5. Akar susu pertepatan adalah
    \(x\)
    terakhir yang diperoleh

FUngsi
root_fpi()
dapat digunakan untuk berbuat iterasi dengan argumen keistimewaan riil pertepatan non-linier, ponten tebakan awal, poin toleransi, dan jumlah iterasi maksimum. Berikut adalah sintaks guna tersebut:


Lengkap 7.4

Selesaikan kemiripan non-linier puas Contoh 7.2 menggunakan metode kelewahan titik tetap?

Jawab:

Bikin membereskan persamaan non-linier tersebut kita perlu mentransformasi persamaan non-linier tersebut malar-malar lewat.

\[ xe^{-x}+1=0\ \to x=-\frac{1}{e^{-x}} \]

Bakal cangkrim awal digunakan nilai
\(x=-1\)

\[ x_1 = -\frac{1}{e^{1}}=-2,718282 \]

Poin
\(x\)
tersebut selanjutnya dijadikan poin input plong iterasi selanjutnya:

\[ x_2 = -\frac{1}{e^{2,718282}}=-0,06598802 \]

kemubaziran terus dilakukan sampai diperoleh
\(\left| x_{i+1}-x_i \right|\le e\).

Buat mempercepat proses iterasi kita dapat menggunakan bantuan fungsi
root_fpi(). Berikut yakni sintaks yang digunakan:

            ## $`function` ## function (x)  ## { ##     -1/exp(-x) ## } ## <bytecode: 0x0000000018c9ee40> ##  ## $root ## [1] -0.5671 ##  ## $iter ## [1] 29
          

Berdasarkan hasil tautologi diperoleh nilai
\(x=-0,5671433\)
dengan jumlah iterasi nan diperlukan sebanyak
\(29\)
bisa jadi. Jumlah iterasi akan bergantung dengan poin tebakan awal yang kita berikan. Semakin erat angka tersebut dengan akar, semakin cepat nilai akar tunggang diperoleh.

Metode Newton-Raphson

Metode Newton-Raphson merupakan metode penyelesaian kemiripan non-linier dengan menunggangi pendekatan satu titik sediakala dan mendekatinya dengan membidas slope atau gradien. titik pendekatan dinyatakan pada Persamaan (7.7).

\[\begin{equation} x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f’\left(x_n\right)} \tag{7.7} \end{equation}\]

Ilustrasi metode Newton-Raphson disajikan sreg Gambar 7.8.


Ilustrasi metode Newton-Raphson.

Gambar 7.8: Ilustrasi metode Newton-Raphson.


Algoritma Metode Newton-Raphson

  1. Definisikan
    \(f\left(x \right)\)
    dan
    \(f’\left(x \right)\)
  2. Tentukan kredit toleransi
    \(e\)
    dan kelewahan masimum (N)
  3. Tentukan cangkrim semula
    \(x_0\)
  4. Hitung
    \(f\left(x_0 \right)\)
    dan
    \(f’\left(x_0 \right)\)
  5. Kerjakan repetisi
    \(i=1\)
    s/d
    \(N\)
    ataupun
    \(\left|f\left(x \right) \right|\ge e\), hitung
    \(x\)
    menggunakan Paralelisme (7.7)
  6. Akar susu persamaan merupakan nilai
    \(x_i\)
    terakhir yang diperoleh.

Fungsi
root_newton()
yaitu fungsi yang dibuat menggunakan algoritma di atas. Kelebihan tersebut dituliskan plong sintaks berikut:


Contoh 7.5

Selesaikan persamaan non-linier
\(x-e^{-x}=0\)
memperalat metode Newton-Raphson?

Jawab:

Lakukan boleh memperalat metode Newton-Raphson, lebih lagi dahulu kita wajib memperoleh makhluk pertama dari persamaan tersebut.

\[ f\left(x\right)=x-e^{-x}\to f’\left(x\right)=1+e^{-x} \]

Tebakan mulanya yang digunakan adalah
\(x=0\).

\[ f\left(x_0\right)=0-e^{-0}=-1 \]
\[ f’\left(x_0\right)=1+e^{-0}=2 \]

Hitung nilai
\(x\)
baru:

\[ x_1=x_0-\frac{f\left(x_0\right)}{f’\left(x_0\right)}=0-\frac{-1}{2}=0,5 \]

Buat membangatkan proses iterasi, kita bisa menggunakan fungsi
root_newton(). Berikut adalah sintaks yang digunakan:

            ## $`function` ## function (x)  ## { ##     x - exp(-x) ## } ## <bytecode: 0x000000001c59e158> ##  ## $root ## [1] 0.5671 ##  ## $iter ## [1] 5
          

Berdasarkan hasil perulangan diperoleh akar penyelesaian kemiripan non-linier yaitu
\(x=0,5671433\)
dengan jumlah kemubaziran yang diperlukan adalah
\(5\)
perulangan.

N domestik penerapannya metode Newton-Raphson dapat mengalami obstruksi. Kendala yang dihadapi yakni ibarat berikut:

  1. titik pendekatan tidak dapat digunakan jika merupakan noktah ekstrim atau zenit. Hal ini disebabkan pada titik ini poin
    \(f’\left(x \right)=0\). Bagi memahaminya perhatikan ilustasi yang disajikan pada Gambar 7.9. Untuk menatasi kendala ini rata-rata titik pendekatan akan digeser.


Ilustrasi titik pendekatan di titik puncak.

Susuk 7.9: Ilustrasi bintik pendekatan di titik puncak.

  1. Selit belit memperoleh penyelesaian saat tutul pendekatan berada diantara 2 bintik stasioner. Untuk mengarifi hambatan ini perhatikan Rencana 7.10. Lakukan menghindarinya, penentuan titik pendekatan dapat menunggangi bantuan metode diagram.


Ilustrasi titik pendekatan diantara 2 titik stasioner.

Rangka 7.10: Ilustrasi titik pendekatan diantara 2 titik stasioner.

  1. Turunan persamaan sering kali rumpil kerjakan diperoleh (tidak dapat tergarap dengan metode analitik).

Metode Secant

Metode Secant merupakan perombakan berpangkal metode regula-falsi dan Newton Raphson, dimana kemiringan dua titik dinyatakan secara diskrit dengan menjumut kerangka garis lurus yang melalui satu titik. Pertepatan yang dihasilkan disajikan pada Persamaan (7.8).

\[\begin{equation} y-y_0=m\left(x-x_0\right) \tag{7.8} \end{equation}\]

Angka
\(m\)
merupakan transformasi pertepatan tersebut.

\[\begin{equation} m_n=\frac{f\left(x_n\right)-f\left(x_{n-1}\right)}{x_n-x_{n-1}} \tag{7.9} \end{equation}\]

Bila
\(y=f\left(x\right)\)
dan
\(y_n\)
dan
\(x_n\)
diketahui, maka titik ke
\(kaki langit+1\)
ialah:

\[\begin{equation} y_{n+1}-y_n=m_n\left(x_{cakrawala+1}-x_n\right) \tag{7.10} \end{equation}\]

Bila titik
\(x_{cakrawala+1}\)
dianggap akar persamaan maka nilai
\(y_{horizon+1}=0\), sehingga diperoleh:

\[\begin{equation} -y_n=m_n\left(x_{n+1}-x_n\right) \tag{7.11} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \frac{m_nx_n-y_n}{m_n}=x_{horizon+1} \tag{7.12} \end{equation}\]

atau

\[\begin{equation} x_{n+1}=x_n-y_n\frac{1}{m_n} \tag{7.13} \end{equation}\]

\[\begin{equation} x_{cakrawala+1}=x_n-f\left(x_n\right)\frac{x_n-x_{kaki langit+1}}{f\left(x_n\right)-f\left(x_{n+1}\right)} \tag{7.14} \end{equation}\]

Berlandaskan Persamaan (7.14) diketahui bahwa untuk memperoleh akar persamaan diperlukan 2 buah titik pendekatan. Kerumahtanggaan buku ini akan digunakan tutul pendekatan kedua merupakan titik pendekatan pertama ditambah deka- siapa nilai kesabaran.

\[\begin{equation} x_1=x_0+10*tol \tag{7.15} \end{equation}\]


Algoritma Metode Secant

  1. Definisikan
    \(f\left(x \right)\)
    dan
    \(f’\left(x \right)\)
  2. Tentukan skor toleransi
    \(e\)
    dan kemubaziran masimum (N)
  3. Tentukan cangkrim awal
    \(x_0\)
    dan
    \(x_1\)
  4. Hitung
    \(f\left(x_0 \right)\)
    dan
    \(f\left(x_1 \right)\)
  5. Buat iterasi
    \(i=1\)
    s/d
    \(Horizon\)
    alias
    \(\left|f\left(x \right) \right|\ge e\), hitung
    \(x\)
    menggunakan Pertepatan (7.14)
  6. Akar persamaan yaitu kredit x yang terakhir.

Fungsi
root_secant()
merupakan fungsi nan dabir buat lakukan melakukan kemubaziran menunggangi metode Secant. Berikut adalah sintaks dari keefektifan tersebut:


Contoh 7.6

Selesaikan persamaan non-linier sreg Contoh 7.5 memperalat metode Secant?

Jawab:

Untuk tanggulang paralelisme tersebut digunakan nilai pendekatan awal
\(x_0=0\)
dan
\(x_1=0+10*10^{-7}=10^{-6}\).

\[ f\left(x_0 \right)=0-e^{-0}=-1 \]

\[ f\left(x_1 \right)=10^{-6}-e^{-10^{-6}}=-0,999998 \]

Hitung nilai
\(x_2\)
dan
\(f\left(x_2 \right)\).

\[ x_2=0+0,999998\frac{10^{-6}-0}{-0,999998+1}=0,499999 \]

Untuk mempercepat proses iterasi kita dapat menggunakan guna
root_secant()
puas
R. Berikut sintaks nan digunakan:

            ## $`function` ## function (x)  ## { ##     x - exp(-x) ## } ## <bytecode: 0x000000001b4fc6b0> ##  ## $root ## [1] 0.5671 ##  ## $iter ## [1] 6
          

Bersendikan hasil kelewahan diperoleh angka akar perampungan yaitu
\(x=0,5671433\)
dengan iterasi dilakukan sebanyak
\(6\)
kali.

Secara publik metode Secant menawarkan sejumlah keuntungan dibanding metode lainnya. Pertama, seperti metode Newton-Raphson dan tidak sebagai halnya metode tertutup lainnya, metode ini tidak memerlukan rentang pencarian akar tunjang penyelesaian. Kedua, lain sebagaimana metode Newton-Raphson, metode ini lain memerlukan pencarian turunan mula-mula paralelisme non-linier secara analitik, dimana bukan dapat dilakukan otomasi pada setiap kasus.

Tentang kerugian dari metode ini adalah berpotensi menghasilkan hasil nan tidak konvergen sederajat seperti metode terbuka lainnya. Selain itu, kecepatan konvergensinya bertambah lambat dibanding metode Newton-Raphson.

Penuntasan Paralelisme Non-Linier Memperalat Faedah
uniroot
dan
uniroot.all

Paket
base
pada
R
menyempatkan fungsi
uniroot()
untuk mencari akar tunggang pertepatan suatu fungsi plong rentang spesifik. Guna ini menggunakan metode Brent yaitu kombinasi antara
root bracketing, biseksi, dan interpolasi invers kuadrat. Format keistimewaan tersebut secara sederhana adalah misal berikut:

Catatan:

  • f: persamaan non-linier
  • pause: vektor jeda had bawah dan atas
  • tol: nilai kesabaran
  • maxiter: iterasi maksimum

Berikut adalah contoh penerapan guna
uniroot():

          ## $root ## [1] -0.5671 ##  ## $f.root ## [1] 1.533e-08 ##  ## $iter ## [1] 7 ##  ## $init.it ## [1] NA ##  ## $estim.prec ## [1] 5e-08
        

Berdasarkan hasil iterasi diperoleh akar susu persamaan tersebut adalah
\(-0,5671433\)
dengan jumlah iterasi sebanyak
\(7\)
perulangan dan tingkat presisi sebesar
\(5e-08\).

Manfaat tak nan boleh digunakan bagi mencari akar persamaan adalah
uniroot.all()
dari paket
rootSolve. Fungsi ini memecahkan kelemahan dari
uniroot(), dimana
uniroot()
tidak bekerja jika kurnia saja menyentuh dan tidak melewati tali api zero
\(y=0\). Untuk memahaminya perhatikan contoh berikut:

Bandingkan dengan sintaks berikut:

          ## $root ## [1] -1.571 ##  ## $f.root ## [1] 0 ##  ## $iter ## [1] 0 ##  ## $init.it ## [1] NA ##  ## $estim.prec ## [1] 0
        

Kerjakan menggunakan kebaikan
uniroot.all(), jalankan sintaks berikut:

Jalankan pula fungsi dan rentang di mana
uniroot()
tidak dapat bekerja:

          ## [1] -1.571
        

Akar Persamaan Polinomial Menunggangi Khasiat
polyroot

Faedah
polyroot()
pada pak
base
boleh digunakan kerjakan memperoleh akar pecah suatu polinomial. Algortima yang digunakan dalam fungsi tersebut adalah algoritma Jenkins dan Traub.

Untuk boleh menggunakannya kita hanya teristiadat mengegolkan vektor koefisien dari polinomial. Pengepakan elemen internal vektor dimulai dari variabel dengan hierarki teratas menuju elastis dengan pangkat terendah. Berikut adalah arketipe bagaimana khasiat
polyroot()
digunakan lakukan mencari akar tunjang polinomial
\(f\left(x\right)=x^2+1\):

          ## [1] 0+1i 0-1i
        

Contoh lainnya adalah mencari akar tunjang polinomial
\(f\left(x\right)=4x^2+5x+6\):

          ## [1] -0.4167+0.7022i -0.4167-0.7022i
        

Pembaca bisa mencoba membuktikan hasil yang diperoleh tersebut menunggangi metode analitik.

Studi Kasus

Penerapan penyelesaian sistem persamaan non-linier banyak dijumpai dalam bineka kasus di bidang lingkungan. Lega bagian ini penulis tidak akan menjelaskan seluruhnya. Penulis semata-mata akan mengklarifikasi penerapannya puas sebuah persamaan yaitu Hukum Bernoulli.

Persamaan Van Der Walls

Hukum Bernoulli

Misalkan terdapat sebuah saluran dengan sengkang sesuai dengan Gambar 7.11.


Aliran fluida pada sebuah pipa.

Gambar 7.11: Rotasi fluida pada sebuah pipa.

Berdasarkan hukum Bernoulli, maka diperoleh kemiripan berikut:

\[\begin{equation} \frac{Q^2}{2gb^2h_0^2}+h_0=\frac{Q^2}{2gb^2h^2}+h+H \tag{7.16} \end{equation}\]

Persamaan tersebut dapat dilakukan transmutasi menjadi persamaan berikut:

\[\begin{equation} f\left(h\right)=h^3+\left(H-\frac{Q^2}{2gb^2h_0^2}-h_0\right)h^2+\frac{Q^2}{2gb^2}=0 \tag{7.17} \end{equation}\]

Data-data terkait saluran tersebut adalah misal berikut:

  • \(Q=1,2\ \frac{m^3}{\det\ }\)
    = piutang revolusi fluida tiap satuan perian
  • \(g=9,81\ \frac{m}{s^2}\)
    =percepatan gravitasi
  • \(b=1,8\ m\)
    =lebar cangklong
  • \(h_0=0,6\ m\)
    =keagungan air maksimum
  • \(H=0,075\ m\)
    =tinggi pelebaran pipa
  • \(h\)
    = kemuliaan air

Kita dapat memperalat pendekatan numerik untuk menentukan
\(h\). Pada studi kasus ini tidak dijelaskan lokasi dimana akar penyelesaian makmur, sehingga metode terbuka sama dengan Secant cukup sesuai bakal menyelesaikannya:

Berikut yaitu persamaan yang bau kencur selepas seluruh data dimasukkan kedalam tiap variabelnya:

\[ f\left(h\right)=h^3+\left(0,075-\frac{1,2^2}{2\times9,81\times1,8^2\times0,6^2}-0,6\right)h^2+\frac{1,2^2}{2\times9,81\times1,8^2}=0 \]

Bagi penyelesaiannya juru tulis akan memberikan tebakan awal nilai
\(h=h_0=0,6\). Berikut yaitu sintaks penyelesaian menunggangi metode secant:

            ## $`function` ## function (h)  ## { ##     (h^3) + ((0.075 - ((1.2^2)/(2 * 9.81 * (1.8^2) * (0.6^2)))) *  ##         h^2) + (1.2^2/(2 * 9.81 * (1.8^2))) ## } ## <bytecode: 0x000000001d1483f0> ##  ## $root ## [1] -0.287 ##  ## $iter ## [1] 26
          

Bersendikan hasil estimasi diperoleh skor
\(h=-0,2870309\)
atau izzah air sekitar
\(0,3\ m\)
dengan jumlah iterasi sebanyak
\(26\)
mungkin.

Pembaca dapat mencoba menggunakan metode bukan sebagai halnya metode tertutup. Bikin bisa melakukannya, pembaca wajib memperoleh rentang lokasi akar persamaan tersebut berada menggunakan metode tabel.

Referensi

  1. Atmika, I.K.A. 2022.
    Diktat Mata Syarah: Metode Numerik. Jurusan Teknik Mesin Universitas Udayana.
  2. Bloomfield, V.A. 2022.
    Using R for Numerical Analysis in Science and Engineering. CRC Press
  3. Howard, J.P. 2022.
    Computational Methods for Numerical Analysis with R. CRC Press.
  4. Jones, Udara murni. Maillardet, R. Robinson, A. 2022.
    Introduction to Scientific Programming and Simulation Using R. CRC Press
  5. Kreyszig, E. 2022.
    Advanced Engineering Mathematics, 10th Edition. John Wiley & Sons.
  6. Sanjaya, M. 2022.
    Metode Numerik Berbasis Phython. Penerbit Gava Wahana: Yogyakarta.
  7. Sudiadi dan Konsisten R. 2022.
    Metode Numerik. STMIK

Latihan

  1. Temukan akar tunjang persamaan dari persamaan non-linier
    \(f\left(x\right)=x^3-2x+2\)
    memperalat metode terbuka dengan
    \(x_0=0\)
    dan
    \(x_0=\frac{1}{2}\)!
  2. Apakah kelebihan dari metode terpejam (model: metode biseksi) dibanding metode melenggong (contoh: Newton-Raphson)? (catatan: pembaca dapat lagi mencari dari teks lainnya)
  3. Temukan akar persamaan dari paralelisme
    \(f\left(x\right)=\frac{sin\left(x\right)}{x}\)
    dengan juluran pencarian
    \(x=0,5\)
    dan
    \(x=1\)!
  4. Plong kondisi apakah metode Secant lebih dipilih dibanding metode Newton-Raphson?
  5. Modifikasilah fungsi
    root_bisection()
    dan
    root_rf()
    sehingga kita tidak terbiasa memasukkan argumen
    a
    dan
    b
    dan hanya perlu memasukkan satu vektor
    interval
    kedalam arti tersebut! (contoh:
    jeda=c(a,b))