Turunan Pertama Dari Fungsi Adalah

Intern matematika,
bani adam
atau
derivatif
bermula sebuah kemujaraban adalah prinsip mengukur sensitivitas perubahan nilai fungsi terhadap perubahan lega nilai variabelnya. Sebagai abstrak, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap tahun mengukur kecepatan benda bergerak ketika waktu berjalan. Turunan ialah alat signifikan privat kalkulus.

Turunan sebuah fungsi satu variabel di suatu titik, jika itu ada, merupakan kemiringan berbunga garis senggol berasal tabulasi fungsi di titik tersebut. Garis senggol yakni dampingan (aproksimasi) linear terbaik bersumber fungsi di sekitar titik tersebut. Konsep insan boleh diperumum lakukan khasiat multivariabel. Privat perumuman ini, manusia dianggap sebagai transformasi linear, dengan translasi yang sesuai, menghasilkan dampingan linear dari grafik faedah multivariabel tersebut. Matriks Jacobi adalah matriks yang merepresentasikan transformasi linear terhadap satu basis yang ditentukan. Matriks ini dapat ditentukan dengan turunan sepotong-sepotong berpokok laur-variabel independen. Sreg guna multivariabel bernilai benaran, matriks Jacobi tereduksi menjadi vektor gradien.

Proses menemukan turunan disebut
diferensiasi. Kebalikan proses ini disebut dengan
antiturunan. Teorema fundamental kalkulus menyatakan kawin diferensiasi dengan integrasi. Manusia dan integral adalah dua operasi dasar dalam kalkulus suatu-plastis.

Konsep turunan fungsi yang universal banyak digunakan dalam bermacam ragam cabang matematika maupun bidang ilmu yang tidak. Intern rataan ekonomi, turunan digunakan cak bagi menghitung biaya marginal, total pengajian pengkajian, dan biaya produksi. Bidang biologi menggunakan turunan bikin menghitung laju pertumbuhan mikroorganisme, dalam latar fisika untuk cak menjumlah kepadatan benang tembaga, dalam bidang kimia bakal cak menjumlah lampias pemecahan, dalam meres geografi untuk menghitung laju pertumbuhan pemukim, dan masih banyak pun.

Pendahuluan

[sunting
|
sunting sumber]

Secara informal, insan terbit sebuah faedah

y
=
f(x)

dengan variabel

x

adalah ukuran pecah proporsi perubahan ponten

y

terhadap perubahan angka variabel

x
. Seandainya

x

dan

y

adalah bilangan real, dan takdirnya grafik fungsi

f

diplot terhadap

x
, besar turunan dari arti ini plong arbitrer tutul merepresentasi kemiringan dari tabulasi kekuatan pada noktah tersebut.

Kemiringan semenjak fungsi linear

y
=
f(x) =
mx
+
b

adalah




m
=




Δ


y


Δ


x






{\displaystyle m={\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}}



Kasus keteter dari kurnia

f(x)

adalah fungsi linear yang memiliki persamaan

y
=
f(x) =
mx
+
b
, dengan kadar cak benar

m

dan

b
. Kemiringan dari fungsi ini,

m
, dinyatakan dengan





m
=




pergantian skor

y



perubahan nilai

x



=



Δ


y


Δ


x



,


{\displaystyle m={\frac {{\text{perubahan kredit }}y}{{\text{perubahan biji }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}},}



dengan fon
Δ
(Muara sungai) adalah singkatan untuk “pertukaran ponten”, dan bunyi bahasa




Δ


x


{\displaystyle \Muara sungai x}




dan




Δ


y


{\displaystyle \Delta y}




masing-masing menyatakan samudra perubahan yang terjadi. Perumpamaan lengkap,




Δ


y
=
f
(
x
+
Δ


x
)



f
(
x
)
.


{\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x).}

Persamaan di atas berlaku, karena








y
+
Δ


y



=
f

(

x
+
Δ


x

)







=
m

(

x
+
Δ


x

)

+
b
=
m
x
+
m
Δ


x
+
b






=
y
+
m
Δ


x
.






{\displaystyle {\begin{aligned}y+\Delta y&=f\left(x+\Delta x\right)\\&=m\left(x+\Delta x\right)+b=mx+m\Delta x+b\\&=y+m\Delta x.\end{aligned}}}

dan menghasilkan persamaan




Δ


y
=
m
Δ


x


{\displaystyle \Delta y=m\Delta x}




yang menyerahkan persamaan kemiringan dari suatu garis.

Rang 1.
Garis senggol puas (x,
f(x))

Bagan 2.
Garis sekan lega grafik kemustajaban
y=
f(x) yang melalui titik (x,
f(x)) dan
(x
+
h,
f(x
+
h))

Bagan 3.
Garis singgung sebagai limit berpunca garis sekan

Tulangtulangan 4.
Ilustrasi animasi: garis singgung (individu) sebagai limit dari garis-garis sekan

Sekiranya fungsi

f

enggak linear (maksudnya tabel fungsi bukan berupa garis lurus), maka pergantian nilai

y

dibagi dengan transisi nilai

x

dapat berubah-ubah tersampir angka pertukaran poin

x

yang dipilih. Sosok adalah metode bagi menentukan nilai unik dari proporsi perubahan nilai tersebut, yang tidak tergantung besar peralihan




(
Δ


x
)
,


{\displaystyle (\Delta x),}




melainkan titik

x

yang dipilih. Metode menentukan turunan dapat diilustrasikan lewat Kerangka 1 sampai Gambar 3, nan menggambarkan nilai limit berpunca nisbah
Δy
/ Δx

dengan segara
Δx

condong 0.

Asal-usul definisi

[sunting
|
sunting perigi]

Garis sekan nan berubah menjadi garis sentuh ketika




Δ


x



0


{\displaystyle \Muara sungai x\to 0}



.

Salah satu cara masyarakat untuk menyatakan cara diferensiasi yang instingtif ke kerumahtanggaan definisi nan matematis adalah dengan mendefinisikan turunan sebagai limit dari perbandingan dua bilangan benaran.[1]
Pendekatan ini bisa dijabarkan laksana berikut.

Misalkan

f

adalah kelebihan bernilai real yang terdefinisi pada suatu lingkungan beber dari satu bilangan real

a
. Privat geometri, garis sentuh berpunca grafik fungsi

f

di

a

yakni suatu garis unik nan melalui titik
(a,
f(a))

dan
tidak
menyelit keistimewaan

f

di sekitar titik
(a,
f(a))
. Basyar dari

y

terhadap

x

di

a

secara geometris ialah besar kemiringan terbit garis singgung tabel

f

di
(a,
f(a))
. Besar kemiringan garis singgung akan sangat mirip dengan besar kemiringan garis yang melalui titik
(a,
f(a))

dan sebuah titik lain di diagram yang dekat dengannya, sebagai lengkap
(a
+
h,
f(a
+
h))
. Garis nan didefinisikan ini disebut dengan garis sekan. Biji

h

yang dekat dengan nol akan memberikan hampiran (hipotesis, aproksimasi) yang baik mengenai segara kemiringan garis senggol; dan secara publik, nilai (mutlak)

h

yang semakin kecil akan memberikan dekatan nan makin baik. Besar kemiringan

m

berpokok garis sekan adalah perbedaan nilai

y

antara dua tutul tersebut, dibagi dengan perbedaan nilai

x

pada dua titik yang sama, dengan kata lain




m
=



Δ


f
(
a
)


Δ


a



=



f
(
a
+
h
)



f
(
a
)


(
a
+
h
)



(
a
)



=



f
(
a
+
h
)



f
(
a
)

h


.


{\displaystyle m={\frac {\Delta f(a)}{\Muara sungai a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-(a)}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}

Limit digunakan untuk memungkirkan ponten hampiran ke kredit yang pasti (exact). Jika angka dari limit ketika

h

menuju nol ada, maka nilai ini menyatakan lautan kemiringan berusul garis singgung fungsi di titik
(a,
f(a))
. Limit ini didefinisikan sebagai turunan berpokok kebaikan

f

di

a
:





f


(
a
)
=

lim

h



0





f
(
a
+
h
)



f
(
a
)

h


.


{\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}

Jika poin limit ada,

f

dikatakan
terdiferensialkan
di

a
. Notasi





f


(
a
)


{\displaystyle f'(a)}




adalah riuk satu notasi publik untuk turunan. Definisi turunan ini mengandung hubungan yang intuitif bahwa suatu fungsi terdiferensialkan

f

bersifat menaik kalau dan hanya jika turunannya bernilai berwujud, dan menurun jika dan cuma jika turunannya bernilai negatif. Fakta ini kerap digunakan n domestik kajian akan halnya perilaku fungsi, contohnya dalam menentukan bintik ekstrem kepentingan.

Selain itu, turunan lagi memenuhi resan





lim

h



0





f
(
a
+
h
)



(
f
(
a
)
+

f


(
a
)



h
)

h


=
0
,


{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-(f(a)+f'(a)\cdot h)}{h}}=0,}

yang menghasilkan interpretasi yang impulsif (lihat Gambar 1) bahwa garis singgung kemujaraban

f

di

a

menyerahkan
hampiran linear terbaik




f
(
a
+
h
)



f
(
a
)
+

f


(
a
)
h


{\displaystyle f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h}

cak bagi nilai fungsi

f

di selingkung

a

(yakni, untuk angka

h

nan katai). Interpretasi ini adalah konsep termudah nan bisa diperumum ke kasus-kasus lainnya.

Metode subtitusi

h

dengan nol pada perbandingan beda tidak bisa dilakukan karena menghasilkan pencatuan oleh nol. Hal ini menyebabkan besar kemiringan dari garis senggol tidak boleh ditemukan secara langsung dulu subtitusi. Besar kemiringan dapat ditentukan mendefinisikan

Q(h)

menjadi perimbangan (quotinent) beda sebagai kebaikan dari

h
:




Q
(
h
)
=



f
(
a
+
h
)



f
(
a
)

h


.


{\displaystyle Q(h)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}





Q
(
h
)


{\displaystyle Q(h)}




secara geometris menyatakan kemiringan berusul garis sekan yang melalui




(
a
,

f
(
a
)
)


{\displaystyle (a,\,f(a))}




dan




(
a
+
h
,

f
(
a
+
h
)
)


{\displaystyle (a+h,\,f(a+h))}



. Jika

f

adalah fungsi kontinu, secara informal mengartikan tabulasi fungsinya nyata kurva enggak putus dan lain mengandung jeruji, maka fungsi

Q

kontinu selain di




h
=
0


{\displaystyle h=0}



. Sekiranya limit





lim

h



0


Q
(
h
)


{\displaystyle \lim _{h\to 0}Q(h)}




ada, maka ada cara lain memilih ponten cak bagi

Q(0)

yang membuat

Q

menjadi fungsi kontinu, membuat kelebihan

f

terdiferensialkan di

a
, dan raksasa turunannya di

a

sama dengan

Q(0)
. Lega praktiknya, kedatangan

Q(h)

yang kontinu di




h
=
0


{\displaystyle h=0}




ditunjukkan dengan mengubah ekspresi lega pembilang semoga boleh “mencoret” semua suku

h

pada penyebut. Kecurangan seperti mana itu memungkinkan nilai limit berbunga

Q

cak bagi nilai

h

nan kecil tertumbuk pandangan jelas, walaupun

Q

masih tidak terdefinisi di




h
=
0


{\displaystyle h=0}



. Proses penyelewengan ini dapat sangat tataran dan melelahkan buat fungsi nan terik, dan banyak jalan pintas digunakan untuk menyederhanakan proses.

Contoh perhitungan

[sunting
|
sunting sendang]

Kekuatan kuadrat memiliki persamaan

f(x) =
x
2

dan diferensialkan di

x
= 3
, dengan ponten anak adam keistimewaan di titik tersebut adalah 6. Hasil ini didapatkan dari menghitung limit dengan

h

berorientasi nol, berpokok persamaan beda

f(3)
:









f


(
3
)



=

lim

h



0





f
(
3
+
h
)



f
(
3
)

h


=

lim

h



0





(
3
+
h

)

2






3

2



h








=

lim

h



0





9
+
6
h
+

h

2





9

h


=

lim

h



0





6
h
+

h

2



h


=

lim

h



0



(
6
+
h
)

.






{\displaystyle {\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(3+h)-f(3)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(3+h)^{2}-3^{2}}{h}}\\[10pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {9+6h+h^{2}-9}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {6h+h^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{(6+h)}.\end{aligned}}}

Ekspresi terakhir menunjukkan persamaan tikai seimbang dengan ekspresi
6 +
h

saat




h



0


{\displaystyle h\neq 0}




dan bukan terdefinisi saat

h
= 0
, karena definisi dari kemiripan beda. Tetapi, definisi berpangkal limit menyatakan paralelisme selisih tidak harus terdefinisi saat

h
= 0
. Angka limit adalah hasil dari membentuk variabel

h

menuju hampa, mengartikan ekspresi
6 +
h

saat nilai

h

mendatangi sekecil mungkin akan menjadi:





lim

h



0



(
6
+
h
)

=
6
+
0
=
6.


{\displaystyle \lim _{h\to 0}{(6+h)}=6+0=6.}

Mengartikan kemiringan dari diagram kemujaraban kuadrat di bintik
(3, 9)
adalah
6, dan turunannya di

x
= 3

adalah





f


(
3
)
=
6


{\displaystyle f'(3)=6}



. Secara umum, perhitungan yang sebabat bisa digunakan bagi menunjukkan bahwa turunan kurnia kuadrat di

x
=
a

adalah





f


(
a
)
=
2
a


{\displaystyle f'(a)=2a}



:










f


(
a
)



=

lim

h



0





f
(
a
+
h
)



f
(
a
)

h


=

lim

h



0





(
a
+
h

)

2






a

2



h








=

lim

h



0






a

2


+
2
a
h
+

h

2






a

2



h


=

lim

h



0





2
a
h
+

h

2



h








=

lim

h



0



(
2
a
+
h
)

=
2
a






{\displaystyle {\begin{aligned}f'(a)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}\\[0.3em]&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2ah+h^{2}}{h}}\\[0.3em]&=\lim _{h\to 0}{(2a+h)}=2a\end{aligned}}}



Rekaman

[sunting
|
sunting sumur]

Kalkulus, ataupun dikenal dalam sejarah lebih awalnya,
kalkulus infinitesimal, adalah cabang matematika yang berfokus lega konsep limit, fungsi, makhluk, terintegrasi, dan ririt takhingga. Isaac Newton dan Gottfried Leibniz menemukan kalkulus secara terpisah lega pertengahan abad ke-17. Saja dalam perselisihan yang pahit, Leibniz dituduh bahwa ia mencuri karya Newton dan sebaliknya. Pertikaian ini berlangsung setakat kematian mereka berdua.

Definisi

[sunting
|
sunting mata air]

Sebuah fungsi dengan variabel cak benar,




y
=
f
(
x
)


{\displaystyle y=f(x)}



, dikatakan
terdiferensialkan
atau
dapat diturunkan
plong satu titik




a


{\displaystyle a}




di domainnya, takdirnya domain fungsi tersebut mengandung suatu interval buka




I


{\displaystyle I}




yang beranggotakan




a


{\displaystyle a}



, dan nilai limit




L
=

lim

h



0





f
(
a
+
h
)



f
(
a
)

h




{\displaystyle L=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}

ada. Keadaan ini memahamkan bahwa, untuk setiap bilangan cak benar substansial




ε




{\displaystyle \varepsilon }




(bahkan jika nilainya tinggal kecil), akan terserah satu bilangan real positif




δ




{\displaystyle \delta }




sedemikian sehingga, bagi semua
h
yang memenuhi





|

h

|

<
δ




{\displaystyle |h|<\delta }




dan




h



0


{\displaystyle h\neq 0}



, menyebabkan kredit




f
(
a
+
h
)


{\displaystyle f(a+h)}




terdefinisi dan





|

L






f
(
a
+
h
)



f
(
a
)

h



|

<
ε


,


{\displaystyle \left|L-{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\right|<\varepsilon ,}

dengan bar vertikal menyatakan kredit mutlak (tatap definisi epsilon-muara sungai dari limit).

Seandainya keistimewaan




f


{\displaystyle f}




terdiferensialkan di




a


{\displaystyle a}



, dengan kata tidak jikalau skor limit




L


{\displaystyle L}




ada, maka angka limit ini disebut
anak adam
berpokok




f


{\displaystyle f}




di




a


{\displaystyle a}



, dan dinyatakan dengan





f


(
a
)


{\displaystyle f'(a)}




atau







d
f


d
x



(
a
)


{\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}




(dibaca “individu bermula




f


{\displaystyle f}




terhadap




x


{\displaystyle x}




di




a


{\displaystyle a}



” atau “
dy

per

dx

di




a


{\displaystyle a}



“).

Kekontinuan dan keterdiferensialan

[sunting
|
sunting sumur]

Fungsi tangga tidak memiliki turunan plong titik bercelup merah, karena keefektifan tak kontinu di titik tersebut.

Fungsi




f


{\displaystyle f}




yang terdiferensialkan di suatu titik




a


{\displaystyle a}



, pula akan bersifat kontinu di titik tersebut. Sebagai contoh dari resan ini, misalkan

f

adalah fungsi tangga yang menghasilkan kredit 1 bikin semua

x

abnormal berpangkal ponten

a
, dan menghasilkan ponten yang berbeda, misalnya 10, untuk semua nilai

x

nan makin samudra atau sederajat dengan

a
. Fungsi

f

tidak dapat memiliki orang di titik

a
. Buat nilai

h

yang subversif, titik

a
+
h

akan terletak di sisi rendah berpunca khasiat tangga, menjadikan garis sekan pecah

a

ke

a
+
h

akan sangat curam; dan semakin curam detik

h

menuju kosong. Sementara itu biji

h

yang substansial, maka

a
+
h

terletak pada jihat tataran dari fungsi tinggi, sehingga garis sekan bersumber

a

ke

a
+
h

tidak memiliki kemiringan (datar). Alhasil garis-garis sekan tidak memusat samudra kemiringan yang sama, mengakibatkan skor limit dari pertepatan beda bukan ada.

Fungsi nilai mutlak bersifat bersambung-sambung, namun lain dapat didiferensiasi di

x
= 0

karena garis sekannya tak menghasilkan kemiringan yang setara momen dihitung dari kidal dan dari kanan.

Tetapi, bahkan jika maslahat kontinu di suatu tutul, fungsi tersebut siapa tidak terdiferensialkan di sana. Sebagai paradigma, fungsi nilai mutlak

f(x) = |
x
|

berkepribadian kontinu di

x
= 0
, namun tidak terdiferensialkan di titik itu. Jika

h

substansial, maka kemiringan dari garis sekan bermula 0 ke

h

bernilai 1, sedangkan jika

h

merusak, maka kemiringan garis sekan terbit 0 ke

h

bernilai -1. Bahkan fungsi mulus tak dapat diturunkan di titik yang garis singgungnya merupakan garis vertikal: Sebagai contoh, fungsi

f(x) =
x
1/3

tidak terdiferensialkan di

x
= 0
.

Secara pendek, kemujaraban yang terdiferensialkan yaitu fungsi yang kontinu, cuma ada kepentingan membenang nan tidak dapat didiferensialkan.

Sebagian osean kekuatan pada praktiknya memiliki makhluk di semua tutul atau hampir semua tutul. Sreg awal sejarah kalkulus, banyak matematikawan memisalkan kepentingan kontinu dapat diturunkan di banyak titik. Pada kondisi nan kriteria, hal ini berlaku karena biasanya keistimewaan adalah fungsi monoton atau fungsi Lipschitz. Tetapi pada tahun 1872, Weierstrass menemukan contoh permulaan semenjak kepentingan yang kontinu dimanapun namun lain terdiferensialkan dimanapun. Contoh tersebut sekarang dikenal sebagai fungsi Weierstrass.

Turunan sebagai sebuah fungsi

[sunting
|
sunting sumber]

Turunan di berbagai titik farik pada satu khasiat terdiferensialkan. Pada kasus ini, besar turunannya seperti mana:




sin




(

x

2


)

+
2

x

2


cos




(

x

2


)



{\displaystyle \sin \left(x^{2}\right)+2x^{2}\cos \left(x^{2}\right)}



Misalkan

f

yaitu fungsi nan memiliki manusia di setiap tutul di domainnya. Seseorang dapat mendefinisikan sebuah maslahat nan memetakan setiap titik
x
ke poin berpangkal turunan
f
di
x. Keseleo satu notasi untuk menulis kekuatan ini adalah





f




{\displaystyle f’}



, dan disebut sebagai
keefektifan cucu adam
atau
turunan dari

f
. Sewaktu-waktu

f

memiliki cucu adam pada sebagian osean, tapi tidak semua, tutul di domainnya. Fungsi yang nilainya di
a
sama dengan





f


(
a
)


{\displaystyle f'(a)}




kapanpun nilai





f


(
a
)


{\displaystyle f'(a)}




terdefinisi, dan enggak terdefinisi di nilai-nilai yang lainnya, sekali lagi disebut turunan dari

f
. Keefektifan ini n kepunyaan domain nan lebih kecil ketimbang domain berbunga

f
.

Menggunakan ide tersebut, orang dapat dianggap andai keistimewaan dari faedah: Individu adalah sebuah operator dengan domainnya adalah himpunan semua faedah yang memiliki turunan di semua titik pada domain mereka, dan citra-nya (range) ialah himpunan ampuh manfaat-fungsi. Takdirnya operator ini dinyatakan dengan

D
, maka

D(f)

sebagaimana fungsi





f




{\displaystyle f’}



. Selain itu, karena

D(f)

adalah sebuah fungsi, nilainya boleh dihitung di titik
a. Dengan menggunakan definisi dari fungsi sosok,




D
(
f
)
(
a
)
=

f


(
a
)
.


{\displaystyle D(f)(a)=f'(a).}



Laksana pola, pertimbangkan fungsi

f(x) = 2x
;

f

adalah fungsi satu laur nan bernilai cak benar, memahamkan fungsi ini menerima sebuah kredit lalu menghasilkan sebuah angka:









1








2
,




2








4
,




3








6.






{\displaystyle {\begin{aligned}1&{}\mapsto 2,\\2&{}\mapsto 4,\\3&{}\mapsto 6.\end{aligned}}}



Ahli mesin

D

di sisi tak, tidak menerima maupun menghasilkan angka, melainkan khasiat:









D
(
x



1
)



=
(
x



0
)
,




D
(
x



x
)



=
(
x



1
)
,




D

(

x




x

2



)




=
(
x



2



x
)
.






{\displaystyle {\begin{aligned}D(x\mapsto 1)&=(x\mapsto 0),\\D(x\mapsto x)&=(x\mapsto 1),\\D\left(x\mapsto x^{2}\right)&=(x\mapsto 2\cdot x).\end{aligned}}}



Karena

D

menghasilkan sebuah fungsi, hasil dari

D

bisa dievaluasi di satu titik. Andai contoh, ketika

D

diterapkan pada fungsi kuadrat

x

x
2
,

D

akan menghasilkan kelebihan

x
↦ 2x
, yang dapat diberi merek

f(x)
. Keistimewaan hasil ini selanjutnya dapat digunakan bikin cak menjumlah

f(1) = 2
,

f(2) = 4
, dan lebih lanjut.

Notasi insan

[sunting
|
sunting sumber]

Sejumlah notasi buat menyatakan turunan dikembangkan pada awal perkembangan kalkulus, dan sejumlah notasi tersebut masih digunakan saat ini.

Notasi Leibniz

[sunting
|
sunting sumur]

Simbol




d
x


{\displaystyle dx}



,




d
y


{\displaystyle dy}



, dan








d
y


d
x






{\displaystyle {\tfrac {dy}{dx}}}




diperkenalkan maka dari itu Gottfried Wilhelm Leibniz pada tahun 1675.[2]
Notasi ini masih umum digunakan detik persamaan




y
=
f
(
x
)


{\displaystyle y=f(x)}




ingin dipandang laksana hubungan antara fleksibel tergiring dan laur netral. Turunan pertama dengan notasi ini ditulis sebagai







d
y


d
x



,




d
f


d
x



,

 atau




d

d
x



f
,


{\displaystyle {\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {df}{dx}},{\text{ atau }}\,{\frac {d}{dx}}f,}

dan awalnya dianggap ibarat perbandingan dua total infinitesimal (“infinitely small”,
“nan tidak hingga kecilnya”). Makhluk tingkat tinggi, ialah turunan ke-
tepi langit

bersumber




y
=
f
(
x
)


{\displaystyle y=f(x)}



, dituliskan umpama








d

n


y


d

x

n





,





d

n


f


d

x

cakrawala





,

 atau





d

n



d

x

n





f
.


{\displaystyle {\frac {d^{tepi langit}y}{dx^{lengkung langit}}},\quad {\frac {d^{t}f}{dx^{n}}},{\text{ atau }}\,{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f.}

Notasi tersebut merupakan ‘singkatan’ berpokok penerapan operator turunan secara iteratif. Perumpamaan arketipe, notasi turunan kedua[3]









d

2


y


d

x

2





=


d

d
x




(



d
y


d
x



)

.


{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).}



Dengan memperalat notasi Leibniz, turunan dari




y


{\displaystyle y}




di tutul




x
=
a


{\displaystyle x=a}




dapat ditulis dalam dua cara berbeda:











d
y


d
x



|


x
=
a


=



d
y


d
x



(
a
)
.


{\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}={\frac {dy}{dx}}(a).}



Notasi Leibniz memungkinkan penulisan fleksibel diferensiasi (andai penyebut), yang berperan internal turunan sepotong-sepotong. Notasi ini lagi dapat digunakan untuk menulis aturan rantai sebagai[Note 1]








d
y


d
x



=



d
y


d
u









d
u


d
x



.


{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}



Selain itu, notasi Leibniz memperlihatkan hubungan variabel yang sesuai dengan kajian dimensi. Bagaikan model, insan kedua









d

2


y


d

x

2








{\displaystyle {\tfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}




memiliki dimensi yang sama dengan







y

x

2







{\displaystyle {\tfrac {y}{x^{2}}}}



.

Notasi Lagrange

[sunting
|
sunting sumur]

Terkadang disebut dengan notasi petik/prima (prime notation),[4]
salah satu notasi turunan yang umum lainnya adalah notasi yang diperkenalkan Joseph-Louis Lagrange. Notasi ini menunggangi fon prima, nan mirip dengan bunyi bahasa petik. Anak adam dari kelebihan




f


{\displaystyle f}




dituliskan laksana





f




{\displaystyle f’}



. Serupa dengan itu, turunan kedua dan ketiga dari fungsi ditulis bak





(

f



)


=

f




{\displaystyle (f’)’=f”}




dan




(

f



)


=

f


.


{\displaystyle (f”)’=f”’.}



Bikin menyatakan turunan tingkat tinggi, beberapa penulis menggunakan angka Romawi yang ditulis sebagai superskrip, sedangkan yang tidak menuliskan ponten dalam tanda baca kurung:






f


i
v





{\displaystyle f^{\mathrm {iv} }}




maupun





f

(
4
)


.


{\displaystyle f^{(4)}.}



Notasi yang kedua boleh diperumum untuk menghasilkan notasi





f

(
lengkung langit
)




{\displaystyle f^{(n)}}




lakukan insan ke-n
dari




f


{\displaystyle f}



. Notasi ini ringkas dan paling kecil berfaedah ketika khalayak dianggap ibarat kebaikan unik, berbeda dengan notasi Leibniz nan mengganggap turunan ibarat koneksi antar elastis. Poin fungsi hamba allah ke-n
di




a


{\displaystyle a}




dituliskan sebagai





f

(
n
)


(
a
)


{\displaystyle f^{(n)}(a)}



.

Notasi Newton

[sunting
|
sunting sumber]

Notasi Newton cak bagi turunan juga disebut sebagai notasi dot/titik. Notasi ini memperalat noktah yang diletakkan di atas nama keefektifan, lakukan merepresentasikan orang terhadap waktu. Jika




y
=
f
(
ufuk
)


{\displaystyle y=f(t)}



, maka








y
˙







{\displaystyle {\dot {y}}}




dan







y
¨







{\displaystyle {\ddot {y}}}



masing-masing menyatakan turunan purwa dan sosok kedua dari




y


{\displaystyle y}



. Notasi Newton waktu ini sahaja digunakan untuk turunan terhadap masa atau terhadap panjang busur, yang umum ditemukan dalam persamaan diferensial di fisika dan geometri diferensial.[5]
[6]
Notasi Newton, malangnya, sulit digunakan untuk insan tingkat tangga (bani adam ke-4 alias bertambah), dan bukan bisa digunakan untuk manfaat multivariabel.

Notasi Euler

[sunting
|
sunting sumber]

Notasi nan diperkenalkan Leonhard Euler menggunakan ahli mesin diferensial




D


{\displaystyle D}



, nan saat diterapkan plong sebuah keefektifan




f


{\displaystyle f}




akan menghasilkan turunan mula-mula




D
f


{\displaystyle Df}



. Turunan ke-n
dengan notasi ini ditulis sebagai





D

n


f


{\displaystyle D^{n}f}



. Sekiranya




y
=
f
(
x
)


{\displaystyle y=f(x)}




adalah lentur terbujuk, maka tika bawah




x


{\displaystyle x}




umum dilekatkan ke




D


{\displaystyle D}




untuk memperjelas




x


{\displaystyle x}




merupakan fleksibel bebas. Notasi Euler seterusnya dapat ditulis bagaikan






D

x


y


{\displaystyle D_{x}y}




maupun





D

x


f
(
x
)


{\displaystyle D_{x}f(x)}



,

walaupun tika bawah umumnya tidak digunakan jika konteks laur




x


{\displaystyle x}




dapat dipahami, contohnya ketika




x


{\displaystyle x}




ialah amung laur adil dalam ekspresi. Notasi Euler berjasa dalam menyatakan dan menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear.

Kaidah dalam menentukan turunan maslahat

[sunting
|
sunting sumber]

Definisi turunan boleh digunakan buat menentukan turunan suatu fungsi, seperti





x

cakrawala




{\displaystyle x^{n}}




dan




sin



(
x
)


{\displaystyle \sin(x)}



. Proses ini dilakukan mewujudkan persamaan perbandingan beda, lalu menotal limitnya. Tapi sreg praktiknya proses ini seringkali memenatkan. Dalam pendidikan terkait kalkulus diferensial, proses ini tetapi dilakukan pada sediakala penataran. Lebih jauh, menentukan orang fungsi dilakukan dengan merujuk pada tabel/daftar turunan fungsi nan umum atau dengan menggunakan
resan-sifat
turunan.

Prinsip untuk fungsi-keefektifan asal

[sunting
|
sunting sumber]

Setiap sifat pada babak ini dapat dihasilkan dengan membuat persamaan beda, lampau menotal limit




h



0


{\displaystyle h\to 0}



. Proses tersebut memerlukan ketatanegaraan yang berbeda untuk mendapatkan hasil turunan, tergantung spesies fungsinya. Lega babak ini,




a


{\displaystyle a}




berupa kadar betulan.

  • Khalayak implisit[7]
    :

Contoh 1: mencari orang
dy/dx
berpokok:






x

3


+
3
x
+
2
=

y

2




{\displaystyle x^{3}+3x+2=y^{2}}



dapat dilakukan dengan cara berikut:











d

d
x



(

x

3


+
3
x
+
2
)
=


d

d
x



(

y

2


)


{\displaystyle \rightarrow \quad {\frac {d}{dx}}(x^{3}+3x+2)={\frac {d}{dx}}(y^{2})}













d

d
x




x

3


+


d

d
x



3
x
+


d

d
x



2
=


d

d
x




y

2




{\displaystyle \rightarrow \quad {\frac {d}{dx}}x^{3}+{\frac {d}{dx}}3x+{\frac {d}{dx}}2={\frac {d}{dx}}y^{2}}











3

x

2


+
3
=


d

d
x






d
y


d
y




y

2




{\displaystyle \rightarrow \quad 3x^{2}+3={\frac {d}{dx}}{\frac {dy}{dy}}y^{2}}











3

x

2


+
3
=



d
y


d
x





d

d
y




y

2




{\displaystyle \rightarrow \quad 3x^{2}+3={\frac {dy}{dx}}{\frac {d}{dy}}y^{2}}











3

x

2


+
3
=



d
y


d
x



2
y


{\displaystyle \rightarrow \quad 3x^{2}+3={\frac {dy}{dx}}2y}














d
y


d
x



=



3

x

2


+
3


2
y





{\displaystyle \rightarrow \quad {\frac {dy}{dx}}={\frac {3x^{2}+3}{2y}}}



Arketipe 2: berburu cucu adam
dx/dy dari:






x

3


+
3
x
+
2
=

y

2




{\displaystyle x^{3}+3x+2=y^{2}}



dapat dilakukan dengan prinsip berikut:











d

d
y




x

3


+


d

d
y



3
x
+


d

d
y



2
=


d

d
y




y

2




{\displaystyle \rightarrow \quad {\frac {d}{dy}}x^{3}+{\frac {d}{dy}}3x+{\frac {d}{dy}}2={\frac {d}{dy}}y^{2}}













d

d
y






d
x


d
x




x

3


+


d

d
y






d
x


d
x



3
x
=
2
y


{\displaystyle \rightarrow \quad {\frac {d}{dy}}{\frac {dx}{dx}}x^{3}+{\frac {d}{dy}}{\frac {dx}{dx}}3x=2y}














d
x


d
y





d

d
x




x

3


+



d
x


d
y





d

d
x



3
x
=
2
y


{\displaystyle \rightarrow \quad {\frac {dx}{dy}}{\frac {d}{dx}}x^{3}+{\frac {dx}{dy}}{\frac {d}{dx}}3x=2y}














d
x


d
y



3

x

2


+



d
x


d
y



3
=
2
y


{\displaystyle \rightarrow \quad {\frac {dx}{dy}}3x^{2}+{\frac {dx}{dy}}3=2y}














d
x


d
y



=



2
y


3

x

2


+
3





{\displaystyle \rightarrow \quad {\frac {dx}{dy}}={\frac {2y}{3x^{2}+3}}}



Kaidah bagi kemujaraban komposit

[sunting
|
sunting sumur]

Beberapa aturan berikut dapat digunakan lakukan menentukan turunan komposisi fungsi dengan membaginya menjadi masalah-masalah orang yang lebih sederhana. Puas bagian ini,




f


{\displaystyle f}



,




g


{\displaystyle g}



, dan




h


{\displaystyle h}




adalah fungsi yang terdiferensialkan pada ujar-ujar




I


{\displaystyle I}



.

Contoh perhitungan

[sunting
|
sunting sumber]

Insan dari kepentingan





f
(
x
)
=

x

4


+
sin




(

x

2


)




ln



(
x
)

e

x


+
7


{\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin \left(x^{2}\right)-\ln(x)e^{x}+7}



bisa dilakukan dengan pertama boleh jadi menerapkan kaidah jumlah; insan berpangkal penjumlahan manfaat-keistimewaan sebagai halnya penghitungan berbunga individu keistimewaan-kebaikan:





f


(
x
)
=


d

d
x



(

x

4


)
+


d

d
x





(


cos




(

x

2


)



)







d

d
x



(

e

x


)





d

d
x





(


ln



(
x
)

e

x




)


+


d

d
x



(
7
)


{\displaystyle f'(x)={\frac {d}{dx}}(x^{4})+{\frac {d}{dx}}{\Big (}\cos \left(x^{2}\right){\Big )}-{\frac {d}{dx}}(e^{x})-{\frac {d}{dx}}{\Big (}\ln(x)e^{x}{\Big )}+{\frac {d}{dx}}(7)}

Tahap selanjutnya merupakan menghitung turunan dari sendirisendiri fungsi. Pendirian kalung digunakan untuk menentukan turunan berpunca




cos



(

x

2


)


{\displaystyle \cos(x^{2})}



, sementara itu kaidah darab digunakan cak bagi menentukan turunan




ln



(
x
)

e

x




{\displaystyle \ln(x)e^{x}}



:










f


(
x
)



=
4

x

(
4



1
)


+



d

(

x

2


)



d
x



cos




(

x

2


)







d

(

ln




x


)



d
x




e

x





ln



(
x
)



d

(

e

x


)



d
x



+
0






=
4

x

3


+
2
x
cos




(

x

2


)






1
x



e

x





ln



(
x
)

e

x


.






{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln(x){\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}}



Turunan tingkat tinggi

[sunting
|
sunting sendang]

Misalkan




f


{\displaystyle f}




adalah fungsi terdiferensialkan, dan





f




{\displaystyle f’}




ialah fungsi turunannya. Turunan dari





f




{\displaystyle f’}




(jika ada) ditulis umpama





f




{\displaystyle f”}




dan disebut
turunan kedua dari




f


{\displaystyle f}




. Serupa dengan itu, turunan berpokok manusia kedua, jika cak semau, ditulis sebagai





f




{\displaystyle f”’}




dan disebut
turunan ketiga dari




f


{\displaystyle f}




; dan seterusnya. Turunan berulang ini disebut
manusia tingkat tinggi. Turunan ke-
ufuk

juga dapat dituliskan sebagai





f

(
n
)




{\displaystyle f^{(n)}}



. Jika




x
(
t
)


{\displaystyle x(tepi langit)}




menyatakan posisi suatu objek pada perian




t


{\displaystyle falak}



, maka turunan tingkat tinggi dari




x


{\displaystyle x}




memiliki tafsiran tersendiri kerumahtanggaan latar fisika. Turunan mula-mula dari




x


{\displaystyle x}




menyatakan kelancaran objek, turunan kedua menyatakan ki akbar akselerasinya, sedangkan turunan ketiga berasal




x


{\displaystyle x}




menyatakan sentakan.

Guna mulus

[sunting
|
sunting perigi]

Sebuah maslahat yang dapat diturunkan bukan setakat kali disebut
fungsi mulus. Tidak semua fungsi adalah fungsi mulus; seumpama ideal, fungsi




f


{\displaystyle f}




yang enggak kontinu tidak bisa diturunkan. Serupa dengan itu, justru seandainya




f


{\displaystyle f}




mempunyai turunan, fungsi turunan keduanya mungkin tidak ada. Sebagai contoh, misalkan kekuatan





f
(
x
)
=


{



+

x

2


,



jika

x



0








x

2


,



jika

x



0.








{\displaystyle f(x)={\begin{cases}+x^{2},&{\text{jika }}x\geq 0\\-x^{2},&{\text{jika }}x\leq 0.\end{cases}}}



Anggaran menunjukkan bahwa





f


(
x
)
=
2

|

x

|



{\displaystyle f'(x)=2|x|}




adalah fungsi yang terdiferensialkan namun bukan memiliki turunan di kosong. Jika suatu manfaat dapat diturunkan

k

boleh jadi berturut-turut dan cucu adam ke-
k
-nya bersifat kontinu, maka fungsi tersebut merupakan anggota papan bawah keterdiferensialan

Ck

.

Polinomial Taylor dengan sisa

[sunting
|
sunting mata air]

Pada garis suratan real, setiap maslahat polinomial terdiferensialkan tak setakat bisa jadi. Dengan menggunakan kaidah turunan pangkat, sebuah polinomial berderajat

n

akan menjadi khasiat konstan jika diturunkan sebanyak

n

mungkin. Semua turunan keefektifan tersebut lebih lanjut proporsional dengan 0 (fungsi konstan). Hal ini mengartikan kurnia polinomial tersurat fungsi mulus.

Bani adam tingkat hierarki dari sebuah fungsi




f


{\displaystyle f}




di suatu titik




x


{\displaystyle x}



, akan memberikan hampiran polinomial terbaik lakukan maslahat tersebut di sekitar titik




x


{\displaystyle x}



. Sebagai contoh, sekiranya




f


{\displaystyle f}




terdiferensialkan dua kali, maka





f
(
x
+
h
)



f
(
x
)
+

f


(
x
)
h
+



1
2




f


(
x
)

h

2




{\displaystyle f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h+{\tfrac {1}{2}}f”(x)h^{2}}



privat artian bahwa






lim

h



0





f
(
x
+
h
)



f
(
x
)




f


(
x
)
h





1
2



f


(
x
)

h

2




h

2




=
0.


{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)-f'(x)h-{\frac {1}{2}}f”(x)h^{2}}{h^{2}}}=0.}



Seandainya




f


{\displaystyle f}




terdiferensialkan enggak setakat kali, maka persamaan manusia kedua boleh diteruskan menjadi derek Taylor bikin fungsi




f


{\displaystyle f}




yang dievaluasi di

x
+
h

sekitar titik

x
.

Kaidah untuk turunan tingkat tingkatan

[sunting
|
sunting mata air]

Turunan pada sistem predestinasi mania

[sunting
|
sunting sumur]

Definisi dan resan-resan terkait turunan dapat diperumum lakukan kebaikan dengan variabel kompleks dan poin obsesi. Perumuman ini dapat dilakukan karena qada dan qadar kegandrungan juga memiliki sifat pencacahan, perkalian, dan pengalokasian; setimbang sama dengan bilangan betulan. Selain itu, konsep jarak (Euklides) antar qada dan qadar sreg ganjaran kompleks dapat dijelaskan secara sederhana.

Jika




U




C



{\displaystyle U\subset \mathbb {C} }




berupa kompilasi buka, dan




f
:
U




C



{\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }




adalah fungsi bernilai kompleks, maka




f


{\displaystyle f}




dikatakan terdiferensialkan di titik




z




C



{\displaystyle z\in \mathbb {C} }




bila angka limit






lim

h



0





f
(
z
+
h
)



f
(
z
)

h




{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}}



terserah.[8]
Basyar kompleks ini disimbolkan dengan





f


(
z
)
.


{\displaystyle f'(z).}




Definisi ini memungkinkan lakukan menunggangi konsep kelinearan: turunan menyatakan osean “kemiringan” berpunca kepentingan [kegandrungan] linear terbaik nan merayapi manfaat




f
.


{\displaystyle f.}




Tapi, perhatian lebih diperlukan karena kredit




h


{\displaystyle h}




pada limit kasatmata bilangan kegandrungan. Berlainan dengan limit pada bilangan betulan yang sahaja memerlukan dua sisi (“limit terbit kanan” dan “limit dari kiri”), limit pada ketentuan kompleks dapat “bersirkulasi” pecah takhingga banyaknya arah. Balasannya, konsep basyar fungsi kompleks jauh lebih ketat ketimbang pada fungsi bernilai sungguhan. Perumpamaan contoh faedah kredit mutlak kegandrungan bukan mempunyai turunan
dimanapun. Sebuah kelebihan kompleks dapat diturunkan pada suatu tutul, sekiranya dan hanya jika kebaikan tersebut memenuhi persamaan Cauchy-Riemann di bintik tersebut.

Biarpun (atau tepatnya
karena) konsep sosok yang jauh bertambah ketat, aturan-aturan rekaan anak adam plong fungsi bilangan real boleh digunakan lakukan kepentingan bilangan mania. Hal ini mencakup aturan jumlah, darab, dan rantai, juga resan fungsi invers. Banyak fungsi kompleks, sama dengan eksponensial dan logaritma, memiliki sifat cucu adam nan mirip dengan versi realnya.

Jika maslahat




f


{\displaystyle f}




terdiferensialkan di keseluruhan domain




U


{\displaystyle U}



, maka maslahat




f


{\displaystyle f}




disebut
kemujaraban holomorfik
di




U


{\displaystyle U}



.[9]
Fungsi obsesi yang terdiferensialkan di keseluruhan





C



{\displaystyle \mathbb {C} }




disebut fungsi entire. Kepentingan holomorfik memiliki bilang sifat yang tunggal. Sebagai contoh, teorema Picard menyimpulkan bahwa citra (range) dari fungsi entire hanya dapat berwujud:






C



{\displaystyle \mathbb {C} }



,






C




{

z

0


}


{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{z_{0}\}}



,
atau




{

z

0


}


{\displaystyle \{z_{0}\}}




bikin satu






z

0






C



{\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }



.
Hasil ini boleh digunakan untuk menyingkat bahwa, takdirnya kurnia obsesi




f


{\displaystyle f}




lain pernah menghasilkan skor




z


{\displaystyle z}




ataupun poin




w


{\displaystyle w}



, maka




f


{\displaystyle f}




adalah fungsi patuh.

Turunan lakukan kurnia bernilai vektor

[sunting
|
sunting perigi]

Grafik dari fungsi bernilai vektor





r

(
z
)
=
(
2
cos



z
,

4
sin



z
,

z
)


{\displaystyle \mathbf {r} (z)=(2\cos z,\,4\sin z,\,z)}



nan berbentuk heliks. Panah menandakan vektor yang dihasilkan fungsi di




z
=
19

,

5


{\displaystyle z=19{,}5}



.

Sebuah fungsi bernilai vektor





y



{\displaystyle \mathbf {y} }




dengan variabel real, adalah fungsi yang memetakan bilangan real ke satu vektor di suatu ruang vektor






R


kaki langit




{\displaystyle \mathbb {R} ^{lengkung langit}}



. Fungsi bernilai vektor dapat dibagi menjadi fungsi-fungsi koordinatnya,





y

1


(
horizon
)
,


y

2


(
t
)
,




,


y

t


(
t
)


{\displaystyle y_{1}(t),\,y_{2}(t),\,\dots ,\,y_{n}(n)}



. Hal ini mengartikan fungsi





y



{\displaystyle \mathbf {y} }




bisa ditulis sebagai





y

(
t
)
=
(

y

1


(
t
)
,


y

2


(
t
)
,




,


y

n


(
t
)
)


{\displaystyle \mathbf {y} (ufuk)=(y_{1}(t),\,y_{2}(falak),\,\dots ,\,y_{n}(t))}



. Contoh dari fungsi bernilai vektor adalah kurva parametrik di






R


2




{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}




atau






R


3




{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}



. Fungsi-fungsi koordinat ialah fungsi bernilai real, mengakibatkan definisi makhluk dapat diterapkan kerjakan mereka semua.
Makhluk berbunga kemujaraban





y

(
cakrawala
)


{\displaystyle \mathbf {y} (t)}




didefinisikan sebagai sebuah vektor, disebut vektor singgung, yang koordinatnya yakni nilai turunan dari semua fungsi koordinatnya. Dengan kata lain,






y



(
t
)
=
(

y

1



(
falak
)
,



,

y

tepi langit



(
lengkung langit
)
)
.


{\displaystyle \mathbf {y} ‘(t)=(y’_{1}(t),\ldots ,y’_{n}(falak)).}

Bentuk tersebut boleh dihasilkan berpangkal menghitung






y



(
t
)
=

lim

h



0






y

(
t
+
h
)




y

(
t
)

h


,


{\displaystyle \mathbf {y} ‘(n)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {y} (kaki langit+h)-\mathbf {y} (t)}{h}},}

dengan memperkirakan limit berbunga kemujaraban tersebut cak semau. Umpama contoh, bila





y

(
t
)


{\displaystyle \mathbf {y} (lengkung langit)}




yaitu vektor nan menandakan posisi suatu molekul pada tahun




falak


{\displaystyle n}



, turunan






y



(
cakrawala
)


{\displaystyle \mathbf {y} ‘(t)}




boleh dipandang sebagai vektor kecepatan dari atom pada waktu




falak


{\displaystyle tepi langit}



.

Hamba allah untuk fungsi multivariabel

[sunting
|
sunting sumber]

Pembahasan pada fragmen-penggalan sebelumnya namun memperhatikan kekuatan dengan
satu
variabel. Arti nan memetakan vektor ke vektor alias vektor ke kadar juga dapat n kepunyaan turunan. Semata-mata, garis sentuh lega tabel fungsi tersebut belum karuan unik, karena ada banyak arah yang kali bakal membuat garis tersebut. Makanya karena itu, perumuman turunan diperlukan bikin jenis kepentingan ini.

Keterdiferensialan dan matriks Jacobi

[sunting
|
sunting sumur]

Turunan parsial

[sunting
|
sunting sumber]

Grafik bermula kepentingan




z
=

x

2


+
x
y
+

y

2




{\displaystyle z=x^{2}+xy+y^{2}}



. Pada turunan sepotong-sepotong dengan nilai variabel




y


{\displaystyle y}




konstan, garis singgung yang dihasilkan akan seimbang dengan bidang-xz.

Irisan semenjak grafik fungsi di bidang-xz




y
=
1


{\displaystyle y=1}



. Dua sumbu yang disajikan di sini n kepunyaan skala yang berlainan. Kemiringan mulai sejak garis singgung di titik




(
1
,

1
)


{\displaystyle (1,\,1)}




sama dengan 3.

Misalkan




f


{\displaystyle f}




yaitu kekuatan multivariabel, andai abstrak




f
(
x
,
y
)
=

x

2


+
x
y
+

y

2


.


{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.}




Kekuatan




f


{\displaystyle f}




dapat dianggap misal keluarga fungsi suatu variabel yang diindeks makanya fleksibel-elastis yang tak:





f
(
x
,
y
)
=

f

x


(
y
)
=

x

2


+
x
y
+

y

2


.


{\displaystyle f(x,y)=f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.}



Dalam model ini, setiap nilai




x


{\displaystyle x}




akan menghasilkan sebuah fungsi





f

x




{\displaystyle f_{x}}




yang merupakan kepentingan suatu variabel. Hal ini dapat dinyatakan dengan pemetaan





x




f

x


,


{\displaystyle x\mapsto f_{x},}








f

x


(
y
)
=

x

2


+
x
y
+

y

2


.


{\displaystyle f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.}



Setelah satu biji




x


{\displaystyle x}




dipilih, misalnya




x
=
a


{\displaystyle x=a}



, maka




f
(
x
,
y
)


{\displaystyle f(x,y)}




lebih jauh menentukan sebuah fungsi





f

a




{\displaystyle f_{a}}




yang memetakan




y


{\displaystyle y}




ke





a

2


+
a
y
+

y

2




{\displaystyle a^{2}+ay+y^{2}}



, juga dapat ditulis sebagai





f

a


(
y
)
=

a

2


+
a
y
+

y

2




{\displaystyle f_{a}(y)=a^{2}+ay+y^{2}}



. Internal ekspresi tersebut




a


{\displaystyle a}




adalah sebuah
konstanta
dan bukan sebuah
variabel, menjadikan





f

a




{\displaystyle f_{a}}




bagaikan fungsi suatu variabel. Akibatnya, definisi turunan untuk kemujaraban satu luwes berlaku:






f

a



(
y
)
=
a
+
2
y
.


{\displaystyle f_{a}'(y)=a+2y.}



Prosedur ini dapat diterapkan bagi acak pemilihan nilai




a


{\displaystyle a}



. Menggunakan notasi Leibniz, turunan ini menyampaikan proporsi perubahan nilai kebaikan




f


{\displaystyle f}




intern sebelah




y


{\displaystyle y}



:











f





y



(
x
,
y
)
=
x
+
2
y
.


{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x+2y.}



dan disebut sebagai
turunan berarah dari




f


{\displaystyle f}





terhadap




y


{\displaystyle y}




. Dalam ekspresi tersebut, fon ∂ adalah leter
d
melengkung yang disebut seumpama
tanda baca turunan parsial. Cak bagi membedakannya dengan huruf
d
yang digunakan dalam turunan satu variabel, ∂ terkadang dilafalkan bagaikan “der”, “del”, atau “sepotong-sepotong”, ketimbang “de”.

Secara umum, anak adam sepotong-sepotong sebuah guna




f
(

x

1


,




,


x

n


)


{\displaystyle f(x_{1},\,\dots ,\,x_{n})}




dalam arah





x

i




{\displaystyle x_{i}}




di titik




(

a

1


,




,


a

cakrawala


)


{\displaystyle (a_{1},\,\dots ,\,a_{n})}




didefinisikan sebagai











f






x

i





(

a

1


,



,

a

n


)
=

lim

h



0





f
(

a

1


,



,

a

i


+
h
,



,

a

n


)



f
(

a

1


,



,

a

i


,



,

a

n


)

h


.


{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{ufuk})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{horizon})}{h}}.}



Privat neraca beda di atas, semua nilai variabel kecuali





x

i




{\displaystyle x_{i}}




dibuat konstan. Tindakan membuat teguh variabel-variabel ini akan menghasilkan keistimewaan satu variabel






f


a

1


,



,

a

i



1


,

a

i
+
1


,



,

a

n




(

x

i


)
=
f
(

a

1


,



,

a

i



1


,

x

i


,

a

i
+
1


,



,

a

ufuk


)
,


{\displaystyle f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{t}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{t}),}



dan berusul definisi,








d

f


a

1


,



,

a

i



1


,

a

i
+
1


,



,

a

n






d

x

i





(

a

i


)
=






f






x

i





(

a

1


,



,

a

n


)
.


{\displaystyle {\frac {df_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{cakrawala}}}{dx_{i}}}(a_{i})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{falak}).}



Ekspresi ini juga menunjukkan bahwa perhitungan turunan parsial dapat disederhanakan menjadi perhitungan basyar satu fleksibel.

Turunan parsial sekali lagi memainkan peran berjasa kerumahtanggaan pembahasan terkait khasiat bernilai vektor. Misalkan





f

(

x

1


,




,


x

t


)


{\displaystyle \mathbf {f} (x_{1},\,\dots ,\,x_{ufuk})}




perumpamaan faedah bernilai vektor. Jika semua turunan parsial












f







x

j








{\displaystyle {\tfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{j}}}}




terdefinisi di titik





a

=
(

a

1


,




,


a

ufuk


)


{\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\,\dots ,\,a_{kaki langit})}



, basyar-turunan parsial ini mendefinisikan sebuah vektor









f

(

a

1


,



,

a

n


)
=

(








f







x

1





(

a

1


,



,

a

t


)
,




,







f







x

n





(

a

1


,



,

a

t


)

)

,


{\displaystyle \nabla \mathbf {f} (a_{1},\ldots ,a_{lengkung langit})=\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}(a_{1},\ldots ,a_{cakrawala}),\,\ldots ,{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}(a_{1},\ldots ,a_{horizon})\right),}



yang disebut bagaikan gradien dari





f



{\displaystyle \mathbf {f} }




di





a



{\displaystyle \mathbf {a} }



. Jika





f



{\displaystyle \mathbf {f} }




terdiferensialkan di setiap bintik di suatu domain, maka gradien adalah sebuah kebaikan bernilai vektor








f



{\displaystyle \nabla \mathbf {f} }




yang memetakan tutul




(

a

1


,




,


a

ufuk


)


{\displaystyle (a_{1},\,\dots ,\,a_{horizon})}




ke vektor








f

(

a

1


,




,


a

n


)


{\displaystyle \nabla \mathbf {f} (a_{1},\,\dots ,\,a_{n})}



. Akibatnya, gradien menentukan satu kancah vektor.

Cucu adam berarah

[sunting
|
sunting sumber]

Plot garis bentuk dari fungsi




f
(
x
,
y
)
=

x

2


+

y

2




{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}



. Vektor gradien ditandai oleh corak hitam, dan vektor unit





u



{\displaystyle \mathbf {u} }




yang dikali dengan turunan berarah




f


{\displaystyle f}



dalam jihat





u



{\displaystyle \mathbf {u} }




ditandai hutan jingga. Vektor gradien makin panjang daripada vektor orang berarah, karena vektor gradien menunjuk pada sisi dengan perubahan ponten fungsi paling segara.

Jikalau




f


{\displaystyle f}




adalah fungsi bernilai real di






R


n




{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}



, maka turunan sepotong-sepotong




f


{\displaystyle f}




mengukur variasi sosok dalam arah sumbu koordinat. Sebagai contoh, jika




f


{\displaystyle f}




adalah kelebihan dari




x


{\displaystyle x}




dan




y


{\displaystyle y}




,
maka turunan parsial




f


{\displaystyle f}




spesies di




f


{\displaystyle f}




dalam sisi




x


{\displaystyle x}




dan




y


{\displaystyle y}



. Tapi, individu




f


{\displaystyle f}




tidak menimbang secara langsung varietas




f


{\displaystyle f}




pada setiap sebelah lainnya, contohnya di sepanjang garis diagonal




y
=
x


{\displaystyle y=x}



. Ini diukur menggunakan orang berarah. Misalkan vektor






v

=
(

v

1


,



,

v

n


)
,


{\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n}),}



insan berarah




f


{\displaystyle f}




intern jihat





v



{\displaystyle \mathbf {v} }




di noktah

x
didefinisikan melewati limit






D


v




f

(

x

)
=

lim

h



0





f
(

x

+
h

v

)



f
(

x

)

h


.


{\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}



Dalam beberapa kasus, menotal maupun menaksir basyar berarah akan lebih mudah setelah jenjang vektor diubah. Proses ini seringkali dilakukan dengan memungkirkan suatu masalah menjadi perhitungan berupa turunan berarah dalam arah satuan vektor. Sebagai contoh, misalkan





v

=
λ



u



{\displaystyle \mathbf {v} =\lambda \mathbf {u} }




dan





u



{\displaystyle \mathbf {u} }




ialah satuan vektor pada arah





v



{\displaystyle \mathbf {v} }



. Mensubstitusi




h
=



k
λ







{\displaystyle h={\tfrac {k}{\lambda }}}




ke perbandingan beda di ruas kanan persamaan, akan menghasilkan tulangtulangan








f
(

x

+
(
k

/

λ


)
(
λ



u

)
)



f
(

x

)


k

/

λ





=
λ








f
(

x

+
k

u

)



f
(

x

)

k


.


{\displaystyle {\frac {f(\mathbf {x} +(k/\lambda )(\lambda \mathbf {u} ))-f(\mathbf {x} )}{k/\lambda }}=\lambda \cdot {\frac {f(\mathbf {x} +k\mathbf {u} )-f(\mathbf {x} )}{k}}.}



Dengan mengambil limit




h


{\displaystyle h}




mendatangi nol mulai sejak paralelisme di atas, didapatkan wasilah khalayak berarah




f


{\displaystyle f}




kerumahtanggaan sebelah vektor





v



{\displaystyle \mathbf {v} }




setimbang saja dengan




λ




{\displaystyle \lambda }




siapa orang berarah




f


{\displaystyle f}




kerumahtanggaan arah vektor ketengan





u



{\displaystyle \mathbf {u} }



. Oleh karena itu,





D


v



(
f
)
=
λ



D


u



(
f
)


{\displaystyle D_{\mathbf {v} }(f)=\lambda D_{\mathbf {u} }(f)}



. Karena sifat penskalaan ini, bani adam berarah seringkali digunakan namun untuk vektor satuan.

Jikalau semua turunan segmental




f


{\displaystyle f}




terserah dan membenang di





x



{\displaystyle \mathbf {x} }



, maka semua bani adam fragmentaris menentukan manusia berarah




f


{\displaystyle f}




pada sebelah





v



{\displaystyle \mathbf {v} }




melalui rumus berikut:






D


v




f

(

x

)
=





j
=
1


cakrawala



v

j








f






x

j





.


{\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.}



Rumus di atas adalah akibat dari definisi turunan total. Rumus ini pula menunjukkan bahwa makhluk berarah berperilaku linear di





v



{\displaystyle \mathbf {v} }



, privat artian





D


v

+

w



(
f
)
=

D


v



(
f
)
+

D


w



(
f
)


{\displaystyle D_{\mathbf {v} +\mathbf {w} }(f)=D_{\mathbf {v} }(f)+D_{\mathbf {w} }(f)}



.

Definisi yang setimbang juga berlaku ketika




f


{\displaystyle f}




berupa fungsi nan n kepunyaan nilai di






R


m




{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}



; dengan menerapkan definisi pada setiap komponen vektor. Pada kasus ini, khalayak berarah merupakan vektor di






R


m




{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}



.

Diferensial total dan matriks Jacobi

[sunting
|
sunting sumber]

Sekiranya




f


{\displaystyle f}




merupakan sebuah fungsi berpokok himpunan membengang berpangkal






R


horizon




{\displaystyle \mathbb {R} ^{ufuk}}




ke






R


m




{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}



, maka makhluk berarah




f


{\displaystyle f}




dalam arah yang dipilih yaitu hampiran linear terbaik ke




f


{\displaystyle f}




di titik dan sisi tersebut. Saja jika



lengkung langit
>
1


{\displaystyle kaki langit>1}






f


{\displaystyle f}



. Turunan total memasrahkan gambaran hipotetis dengan anak bedil semua arah simultan. Dalam artian, untuk suatu vektor





v



{\displaystyle \mathbf {v} }




yang dimulai dari





a



{\displaystyle \mathbf {a} }



, terletak rumus hampiran linear yang berlaku sebagai:





f
(

a

+

v

)



f
(

a

)
+

f


(

a

)

v

.


{\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\approx f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} .}



Sama seperti turunan satu fleksibel,





f


(

a

)


{\displaystyle f'(\mathbf {a} )}




dipilih sehingga galat dekatan tersebut dapat dibuat sekecil kelihatannya.

Jika




t


{\displaystyle n}




dan




m


{\displaystyle m}




bernilai 1, maka khalayak





f


(

a

)


{\displaystyle f'(\mathbf {a} )}




yakni sebuah biji dan rancangan





f


(

a

)

v



{\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} }




yakni hasil kali berpunca dua bilangan. Tetapi kerumahtanggaan dimensi yang bertambah tinggi,





f


(

a

)


{\displaystyle f'(\mathbf {a} )}




bukan dapat berupa sebuah bilangan. Jika





f


(

a

)


{\displaystyle f'(\mathbf {a} )}




adalah sebuah bilangan, maka





f


(

a

)

v



{\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} }




akan berupa vektor di






R


tepi langit




{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}



. Sedangkan bentuk-bentuk lainnya faktual vektor di






R


m




{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}




sehingga rumus hampiran linear menjadi enggak masuk akal. Agar rumus hampiran linear menjadi turut akal,





f


(

a

)


{\displaystyle f'(\mathbf {a} )}




harus sebuah manfaat yang memetakan vektor di






R


horizon




{\displaystyle \mathbb {R} ^{tepi langit}}




ke vektor di






R


m




{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}



, dan





f


(

a

)

v



{\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} }




harus menyatakan fungsinya dapat dihitung di





v



{\displaystyle \mathbf {v} }



.

Untuk menentukan spesies manfaat apakah tersebut, perhatikan bahwa rumus hampiran linear dapat ditulis ulang sebagai





f
(

a

+

v

)



f
(

a

)




f


(

a

)

v

.


{\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} )\approx f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} .}



Perhatikan bahwa takdirnya vektor tak dipilih, katakanlah





w



{\displaystyle \mathbf {w} }



, maka persamaan hampiran tersebut menentukan persamaan hampiran lain dengan memasukkan





w



{\displaystyle \mathbf {w} }




ke





v



{\displaystyle \mathbf {v} }



. Ini menentukan persamaan aproksimasi ketiga dengan memasukan biji





w



{\displaystyle \mathbf {w} }




ke





v



{\displaystyle \mathbf {v} }




dan





a

+

v



{\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {v} }




ke





a



{\displaystyle \mathbf {a} }



. Dengan mengurangi kedua persamaan tersebut akan mendapatkan pertepatan berikut.





f
(

a

+

v

+

w

)



f
(

a

+

v

)



f
(

a

+

w

)
+
f
(

a

)




f


(

a

+

v

)

w





f


(

a

)

w

.


{\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {w} )+f(\mathbf {a} )\approx f'(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\mathbf {w} -f'(\mathbf {a} )\mathbf {w} .}



Jika diasumsikan bahwa





v



{\displaystyle \mathbf {v} }




bernilai kerdil dan bahwa perlintasan turunan kontinu di





a



{\displaystyle \mathbf {a} }



, maka





f


(

a

+

v

)


{\displaystyle f'(\mathbf {a} +\mathbf {v} )}




sangka-sangkil sama dengan





f


(

a

)


{\displaystyle f'(\mathbf {a} )}



. Karena itu, ruas kanan pada paralelisme tersebut terka-nyana sama dengan nol. Ruas kiri pada persamaan dapat ditulis ulang kerumahtanggaan cara yang berbeda dengan menggunakan rumus hampiran linear, dengan





v

+

w



{\displaystyle \mathbf {v} +\mathbf {w} }




dimasukkan





v



{\displaystyle \mathbf {v} }



. Rumus dekatan linear menyiratkan:









0






f
(

a

+

v

+

w

)



f
(

a

+

v

)



f
(

a

+

w

)
+
f
(

a

)






=
(
f
(

a

+

v

+

w

)



f
(

a

)
)



(
f
(

a

+

v

)



f
(

a

)
)



(
f
(

a

+

w

)



f
(

a

)
)










f


(

a

)
(

v

+

w

)




f


(

a

)

v





f


(

a

)

w

.






{\displaystyle {\begin{aligned}0&\approx f(\mathbf {a} +\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {w} )+f(\mathbf {a} )\\&=(f(\mathbf {a} +\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} ))-(f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} ))-(f(\mathbf {a} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} ))\\&\approx f'(\mathbf {a} )(\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} -f'(\mathbf {a} )\mathbf {w} .\end{aligned}}}



Rumus tersebut menyarankan bahwa





f


(

a

)


{\displaystyle f'(\mathbf {a} )}




merupakan transfigurasi linear dari ulas vektor






R


kaki langit




{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}




ke ruang vektor






R


m




{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}



. Bahkan rumus ini boleh membuat sebuah turunan yang tepat dengan mengukur galat plong hampirannya. Premis bahwa galat pada rumus dekatan linear dibatasi oleh hasil bisa jadi bersumber konstanta dengan







v





{\displaystyle \left\|\mathbf {v} \right\|}



, dengan konstantanya bebas dari





v



{\displaystyle \mathbf {v} }




doang membenang bergantung puas





a



{\displaystyle \mathbf {a} }



. Selepas menambahkan sebuah bentuk galat nan sesuai, maka semua persamaan dampingan di atas dapat ditulis ulang laksana pertidaksamaan. Khususnya,





f


(

a

)


{\displaystyle f'(\mathbf {a} )}




merupakan sebuah transformasi linear hingga gambar galat kecil. Dalam limit, detik





v



{\displaystyle \mathbf {v} }




dan





w



{\displaystyle \mathbf {w} }




menuju ke zero,





f


(

a

)


{\displaystyle f'(\mathbf {a} )}




harus berupa transformasi linear. Karena turunan total didefinisikan dengan mencoket limit saat





v



{\displaystyle \mathbf {v} }




menuju ke hampa,





f


(

a

)


{\displaystyle f'(\mathbf {a} )}




harus berupa transformasi linear.

Kaidah kerjakan turunan fungsi multivariabel

[sunting
|
sunting sumber]

Turunan implisit

[sunting
|
sunting perigi]

Contoh penerapan

[sunting
|
sunting perigi]

Turunan pada sistem suratan hiperreal

[sunting
|
sunting mata air]

Dalam ilmu hitung, garis hidup hiperreal ialah sebuah kaidah memaknai besaran tak hingga dan infinitesimal (tak hingga kecilnya tapi tidak nihil). Hiperreal merupakan perumuman dari himpunan garis hidup real





R



{\displaystyle \mathbb {R} }



, dan mencakup ganjaran-ketentuan yang kian segara daripada




1
+
1
+



+
1


{\displaystyle 1+1+\dots +1}




(untuk sembarang terperingkatkan banyaknya tungkai). Lega sistem suratan ini, khalayak fungsi real




y
=
f
(
x
)


{\displaystyle y=f(x)}




di tutul cak benar




x


{\displaystyle x}




dapat didefinisikan sebagai bayangan skala


y

x



untuk infinitesimal
x
, dengan
y
=
f(x
+ ∆x) −
f(x)
. Perluasan (perumuman, ekstensi) alami fungsi




f


{\displaystyle f}




bagi hiperreal masih dilambangkan umpama




f


{\displaystyle f}



, dan turunannya dikatakan suka-suka jika besar bayangan tidak gelimbir pada pemilahan infinitesimal.

Perumuman

[sunting
|
sunting sumber]

Konsep turunan bisa diperluas menjadi perumuman lainnya. Penggait yang paling kecil biasanya adalah turunan fungsi di sebuah titik disajikan bak hampiran linear dari faedah pada titik tersebut.

  • Perumuman terdahulu akan halnya turunan mengikutsertakan fungsi obsesi semenjak variabel kompleks, sebagai halnya fungsi (dengan domain) bilangan kompleks





    C



    {\displaystyle \mathbb {C} }




    ke





    C



    {\displaystyle \mathbb {C} }



    . Gagasan anak adam fungsi mania diperoleh dengan menggantikan variabel real dengan variabel kegandrungan melalui definisi berikut: Jika






    C



    {\displaystyle \mathbb {C} }





    diidentifikasi sebagai






    R


    2




    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}




    dengan menggambar garis hidup kompleks




    z


    {\displaystyle z}




    andai




    x
    +
    i
    y


    {\displaystyle x+iy}



    , maka sebuah fungsi terdiferensialkan dari





    C



    {\displaystyle \mathbb {C} }




    ke





    C



    {\displaystyle \mathbb {C} }




    pasti terdiferensialkan perumpamaan sebuah fungsi dari






    R


    2




    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}




    ke






    R


    2




    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}




    (dalam artian bahwa semua cucu adam sepotong-sepotong pun ada), saja kebalikannya tidak benar pada lazimnya: turunan kompleks belaka suka-suka jika turunan real yakni
    linear kompleks
    dan turunan kompleks memaksakan kaitannya antara turunan parsial yang disebut perumpamaan persamaan Cauchy–Riemann – lihat faedah holomorfik.

  • Perumuman lainnya melibatkan fungsi antara manifold terdiferensialkan atau manifold mulus. Secara intuitif, manifold




    M


    {\displaystyle M}




    dikatakan sebagai urat kayu yang boleh dihampiri memfokus setiap titik




    x


    {\displaystyle x}




    melalui sebuah ruang vektor yang disebut sebagai ruang garis sentuh: eksemplar prototipikalnya merupakan bidang mulus di






    R


    3




    {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}



    . Turunan (atau diferensial) dari kar (terdiferensialkan)




    f
    :


    M



    Lengkung langit


    {\displaystyle f\colon M\to Horizon}




    di antara manifold, di sebuah noktah




    x


    {\displaystyle x}




    di





    M


    {\displaystyle M}




    , adalah peta linear berpunca ulas singgung





    M


    {\displaystyle M}





    di




    x


    {\displaystyle x}




    ke ruang singgung




    N


    {\displaystyle Cakrawala}




    di




    f
    (
    x
    )


    {\displaystyle f(x)}



    , sehingga manusia kepentingan menjadi sebuah denah antara berkas garis singgung





    M


    {\displaystyle M}





    dan




    N


    {\displaystyle N}



    . Definisi tersebut merupakan tulang beragangan radiks internal geometri diferensial, dan definisi tersebut n kepunyaan banyak kegunaan – lihat
    pushforward
    dan
    pullback.

  • Diferensiasi pula dapat didefinisikan sebagai pemetaan antara ruang vektor matra takhingga, sebagaimana ruang Banach dan ruang Fréchet. Perumuman dari makhluk berarah disebut turunan Gateaux, dan perumuman dari diferensial disebut orang Fréchet.
  • Keseleo satu kekurangan orang lazim ialah bahwa ada lalu banyak sekali fungsi yang tidak terdiferensialkan. Hanya terserah cara memperluas gagasan turunan sehingga semua manfaat kontinu dan manfaat lainnya dapat diturunkan melewati konsep nan dikenal andai turunan lembam. Tujuannya ialah agar memasukkan arti bersambung-sambung dalam sebuah ulas yang kian segara yang disebut urat kayu distribusi, dan harapan ini hanya mengharuskan bahwa faedah “rata-rata” terdiferensialkan.
  • Pengenalan dan studi mengenai banyak topik nan serupa dalam aljabar dan topologi diilhami melangkahi sifat-sifat turunan — sebagai hipotetis, lihat aljabar diferensial.
  • Definisi turunan nan selevel diskret ialah beda sampai. N domestik kalkulus skala tahun, studi tentang kalkulus diferensial disatukan dengan kalkulus beda hingga.

Lihat pula

[sunting
|
sunting mata air]

  • Analisis matematis
  • Adat pendiferensialan
  • Diferintegral
  • Pukul rata turunan
  • Terstruktur
  • Infinitesimal
  • Invers perbanyakan
  • Kelajuan (mathematika)
  • Kelas keterdiferensialan
  • Linearisasi
  • Pendiferensialan numerik
  • Pendiferensialan otomatik
  • Penerapan turunan
  • Sejarah kalkulus
  • Teorema Radon–Nikodym
  • Insan aritmetika
  • Turunan fraktal
  • Basyar Hasse
  • Orang Schwarz
  • Turunan simetrik

Garitan suku

[sunting
|
sunting sumur]


  1. ^

    N domestik formulasi kalkulus menunggangi konsep limit, huruf angka
    du
    digunakan untuk menyatakan banyak keadaan oleh banyak penulis. Beberapa penulis tidak memandang
    du
    lain memiliki makna tersendiri, dan hanya terdefinisi bak bagian dari simbol
    du/dx. Penulis nan tak mendefinisikan
    dx
    misal variabel nonblok, dan
    du’ sebagai




    d
    u
    =
    d
    x




    f


    (
    x
    )


    {\displaystyle du=dx\cdot f'(x)}



    . Dalam kajian non-patokan,
    du
    didefinisikan ibarat suatu infinitesimal, dan kembali boleh dipandang sebagai turunan eksterior dari fungsi
    u. Tatap diferensial (matematika) untuk keterangan lebih lanjur.

Teks

[sunting
|
sunting sendang]


  1. ^

    Spivak 1994, chapter 10.

  2. ^

    Manuscript of November 11, 1675 (Cajori vol. 2, page 204)

  3. ^

    Perhatikan bahwa








    d

    2


    y


    d

    x

    2







    {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}




    adalah notasi ringkas lakukan







    d



    d
    y


    d
    x





    d
    x





    {\displaystyle {\frac {d{\frac {dy}{dx}}}{dx}}}



    , maupun, dalam perkenalan awal lain

    diferensial kedua berpunca y terhadap kuadrat dari diferensial pertama berpokok x
    . Penyebut bukanlah diferensial berpangkalx
    2, alias diferensial kedua berusulx.


  4. ^


    “The Notation of Differentiation”. MIT. 1998. Diakses terlepas
    24 October
    2022
    .





  5. ^


    Evans, Lawrence (1999).
    Partial Differential Equations. American Mathematical Society. hlm. 63. ISBN 0-8218-0772-2.





  6. ^


    Kreyszig, Erwin (1991).
    Differential Geometry. New York: Dover. hlm. 1. ISBN 0-486-66721-9.





  7. ^


    “3.4: Implicit Differentiation”.
    Mathematics LibreTexts
    (privat bahasa Inggris). 2022-01-02. Diakses tanggal
    2022-11-05
    .





  8. ^

    Eberhard Freitag, Rolf Busam:
    Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 35.

  9. ^

    Eberhard Freitag, Rolf Busam:
    Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 45.

Daftar bacaan

[sunting
|
sunting sumur]

Resep cetak

[sunting
|
sunting sumber]

  • Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (February 2, 2005),
    Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable
    (edisi ke-8th), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5



  • Apostol, Tom M. (June 1967),

    Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra

    Perlu mendaftar (gratis)

    ,
    1
    (edisi ke-2nd), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1



  • Apostol, Tom M. (June 1969),

    Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications

    Perlu mendaftar (gratis)

    ,
    1
    (edisi ke-2nd), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5



  • Courant, Richard; John, Fritz (December 22, 1998),
    Introduction to Calculus and Analysis, Vol. 1, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65058-4



  • Eves, Howard (January 2, 1990),
    An Introduction to the History of Mathematics
    (edisi ke-6th), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4



  • Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (February 28, 2006),
    Calculus: Early Transcendental Functions
    (edisi ke-4th), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5



  • Spivak, Michael (September 1994),
    Calculus
    (edisi ke-3rd), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8



  • Stewart, James (December 24, 2002),

    Calculus

    Perlu mendaftar (gratis)


    (edisi ke-5th), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7



  • Thompson, Silvanus P. (September 8, 1998),
    Calculus Made Easy
    (edisi ke-Revised, Updated, Expanded), New York: St. Martin’s Press, ISBN 978-0-312-18548-0



Buku daring

[sunting
|
sunting sumur]

  • Crowell, Benjamin (2017),
    Fundamentals of Calculus



  • (Govt. of TN), TamilNadu Textbook Corporation (2006),
    Mathematics- vol.2
    (PDF), diarsipkan dari varian asli
    (PDF)
    tanggal 2022-01-15, diakses tanggal
    2014-11-29




  • Garrett, Paul (2004),
    Notes on First-Year Calculus, University of Minnesota



  • Hussain, Faraz (2006),
    Understanding Calculus



  • Keisler, H. Jerome (2000),
    Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals



  • Mauch, Sean (2004),
    Unabridged Version of Sean’s Applied Math Book, diarsipkan bermula versi ceria tanggal 2006-04-15



  • Sloughter, Dan (2000),
    Difference Equations to Differential Equations



  • Strang, Gilbert (1991),
    Calculus



  • Stroyan, Keith D. (1997),
    A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus



  • Wikibooks,
    Calculus



Pranala luar

[sunting
|
sunting sumber]

  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], “Derivative”,
    Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Alat angkut B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4



  • Khan Academy: “Newton, Leibniz, and Usain Bolt”
  • (Inggris)


Weisstein, Eric W. “Derivative”.
MathWorld.




  • Online Derivative Calculator from Wolfram Alpha.



Source: https://id.wikipedia.org/wiki/Turunan